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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 So 22.06.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Sei A: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n} [/mm] eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass A genau dann bijektiv ist, wenn inf{||Ax||; x [mm] \in \IR^{n} [/mm] mit ||x||=1} > 0 gilt. |
Hallo.
Ich muss diese Aufgabe lösen, hab aber keine Idee wie ich ansetzen soll.
Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:24 Mo 23.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich muss diese Aufgabe lösen, hab aber keine Idee wie ich
> ansetzen soll.
> Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
1. [mm] \Leftarrow
[/mm]
Zeige: aus Ax=0 folgt x=0. Dann ist A injektiv. Warum folgt dann die Bijektivität ?
2. [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \{x \in \IR^n: ||x||=1 \} [/mm] ist kompakt. Obiges Imfimum ist also ein Minimum.
Nimm an , dieses Minimum wäre =0. Es gibt also ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] ||x_0||=1 [/mm] und [mm] Ax_0=0
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:28 Mo 23.06.2014 | | Autor: | Calculu |
Das Injektivitätkriterium besagt, dass A injektiv ist, genau dann wenn kern(A)=0 ist. Wäre kern(A) [mm] \not= [/mm] 0, würde es unendlich viele Lösungen geben. Da A: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n}, [/mm] ist A quadratisch und somit folgt die Surjektivität. Also ist A bijektiv.
Ich kann mir das mit dem Infimum bzw. Minimum immer noch nicht vorstellen und weiß nicht worauf das rauslaufen soll. Um welche Norm handelt es sich denn bei ||Ax||. Um die Frobeniusnorm? Und wieso ||x||=1?
Die Annahme Minimum=0 soll wahrscheinlich zum Widersrpuch führen, da dann die Bijektivität verletzt wird, also muss Inf>0 sein, aber irgendwie seh ich das nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 25.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Mi 25.06.2014 | | Autor: | Calculu |
Ich bin immer noch an einer Lösung interessiert. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:50 Do 26.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen abkürzend:
m(A)= inf [mm] \{||Ax||: x \in \IR^n, ||x||=1 \},
[/mm]
wobei ||*||irgendeine Norm auf [mm] \IR^n [/mm] ist (welche , ist vollkommen wurscht, warum ?)
Zu zeigen ist: A ist bijektiv [mm] \gdw [/mm] m(A)>0.
[mm] \Rightarrow: [/mm] hab ich Dir doch fast vollständig vorgemacht.
[mm] K:=\{x \in \IR^n: ||x||=1 \} [/mm] ist kompakt und A ist auf K stetig, also hat die Abbildung x [mm] \to [/mm] ||Ax|| auf K ein Minimum. Es ex. also ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] ||x_0||=1 [/mm] und [mm] m(A)=||Ax_0||.
[/mm]
Wäre m(A)=0, so wäre [mm] Ax_0=0. [/mm] Wegen der Bijektivität von A wäre [mm] x_0=0, [/mm] Wid.
[mm] \Leftarrow: [/mm] Sei Ax=0 für ein x [mm] \in \IR^n. [/mm] Annahme x [mm] \ne [/mm] 0. Setze z:= [mm] \bruch{x}{||x||}. [/mm] Dann ist ||z||=1 und
0<m(A) [mm] \le [/mm] ||Az||= [mm] \bruch{||Ax||}{||x||}=0, [/mm] Widerspruch.
Fazit: [mm] Kern(A)=\{0\}, [/mm] also ist A injektiv. Mit dem Rangsatz folgt dann auch die Surjektivität von A.
FRED
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