Bijektiv und Umkehrfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:29 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Lucky_real |
Aufgabe
f(x)=3*x-5
Definitionsbereich und Wertebereich ermitteln... so das die Funktion bijektiv wird...
so bin leider nicht die leuchte in mahte und weiss nciht wirklich wie ich da rangehen soll, ich weiss das bijektiv, surjektiv und injektiv inhalten muss aber schlauer bin ich nach stundenlang googlen auch net geworden
und die noch ne frage wie leutet die umkehrfunktion..
ist das etwa
f(y)=(y+5)/3 wenn ja wieso?
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Gruß!
Mein alter Mathelehrer hat mir immer empfohlen, in solchen Fällen eine Skizze anzufertigen. Und das würde ich Dir in diesem Fall auch raten: skizziere den Graphen, dann kann man schon beinahe alles ablesen.
Zur Erinnerung:
- Eine Abbildung heißt "surjektiv", wenn jedes Element des Wertebereiches angenommen wird.
- Eine Abbildung heißt "injektiv", wenn sie eindeutig ist in dem Sinne, dass zwei verschiedene Elemente des Definitionsbereiches auch immer auf verschiedene Elemente des Wertebereiches abgebildet werden.
- Eine Abbildung heißt "bijektiv", wenn sie injektiv und surjektiv ist, also eine 1:1 Zuordnung.
Und zu der Umkehrfunktion: schreibe die Gleichung $y = 3x - 5$ hin und versuche diese nach $x$ aufzulösen. Denn die Idee einer Umkehrfunktion ist es, vom Bild ($y$) auf das Urbild ($x$) zu schließen.
Viel Erfolg!
Lars
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Ich denke dir erstmal.. das bringt mich schon ein stücken näher..
aber ich komme immer nie wirkich mit den begriffen klar..
wertebereich und definitionsbereich urbild bild abildung ect..
da fangen schon lücken bei mir leider
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Erneuter Gruß!
Lücken sind dazu da, geschlossen zu werden.  Ich versuche mal, ein bißchen allgemein zu erklären. Wenn irgendwas unklar ist - einfach nachhaken!
Also, stellen wir uns mal vor, wir haben zwei Mengen gegeben, $A$ und $B$. Im Moment sind das noch völlig beliebige Mengen, das könnten Mengen von Zahlen sein (z.B. [mm] $\IR$) [/mm] oder auch was ganz anderes.
Unter einer Abbildung zwischen zwei Mengen versteht man nun eine Zuordnung (nennen wir sie mal $f$, das hat Tradition), mit der folgenden Eigenschaft:
Jedem Element der "Definitionsmenge" wird genau ein Element der "Wertemenge" zugeordnet.
Laß Dich von diesen Begriffen Definitionsmenge und Wertemenge nicht ins Boxhorn jagen - wenn ich schreibe $f: A [mm] \to [/mm] B$, dann heißt das, mein $f$ ist eine Abbildung von der Menge $A$ in die Menge $B$ und damit nennt man $A$ auch "Definitionsmenge" (weil $f$ auf dieser Menge definiert ist) und $B$ in diesem Zusammenhang "Wertemenge".
Wir haben jetzt also jedem Element $a [mm] \in [/mm] A$ ein eindeutig Element in $B$ zugeordnet, das gemeinhin mit $f(a)$ bezeichnet wird.
Soweit so gut. Aber solche Abbildungen können jetzt verschieden aussehen, z.B. ist es erlaubt, dass ich jedem $a [mm] \in [/mm] A$ das Gleiche Element $b [mm] \in [/mm] B$ zuordne und alle anderen Elemente in $B$ gar nicht brauche.
Ein Beispiel: oft betrachtet man Abbildungen $f: [mm] \IR \to \IR$. [/mm] In diesem Fall sind sowohl Definitionsmenge als auch Wertemenge die reellen Zahlen. Eine solche Abbildung kann man durch ihre Abbildungsvorschrift geben, z.B.
$f(x) = 5$
Damit würde jeder reellen Zahl $x$ der Wert 5 zugeordnet. Eine solche Abbildung heißt "konstant" und ist von dem oben erwähnten Typ - jedes Element aus der Definitionsmenge geht auf das gleiche Element aus der Wertemenge und alle anderen reellen Zahlen außer 5 in der Wertemenge werden nicht als Bild angenommen.
Im vorigen Post hatte ich die Begriffe "injektiv", "surjektiv" und "bijektiv" erläutert. Die Abbildung, die ich gerade beschrieben habe, ist weder injektiv noch surjektiv und damit also auch nicht bijektiv. Bei einer bijektiven Abbildung kann man nämlich nur wenn man ein Element $b [mm] \in [/mm] B$ kennt, auf ein eindeutig bestimmtes Element $a [mm] \in [/mm] A$ zurückschließen mit $f(a) = b$. Man kann die Abbildung also gewissermaßen umkehren.
Soweit erstmal bis hierhin... wenn noch Fragen sind, immer frei heraus!
Lars
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So erstmal danke bin immer noch stark amgrübeln..
denn wie gesagt ich binehrer der praktiker.. und mt definitionen habe ich nichts am hut.. sondern mehr bespiele helfen mir immer
Ein Beispiel: oft betrachtet man Abbildungen . In diesem Fall sind sowohl Definitionsmenge als auch Wertemenge die reellen Zahlen. Eine solche Abbildung kann man durch ihre Abbildungsvorschrift geben, z.B.
Beispiel hier von dir
f(x)=5
Damit würde jeder reellen Zahl der Wert 5 zugeordnet. Eine solche Abbildung heißt "konstant" und ist von dem oben erwähnten Typ - jedes Element aus der Definitionsmenge geht auf das gleiche Element aus der Wertemenge und alle anderen reellen Zahlen außer 5 in der Wertemenge werden nicht als Bild angenommen.
also sehe ich das richtig nun...
der funktion f(x)=5 gebe ich den wert? oder sie hat den wert 5?
und wieso sind alle zahlen ausser 5 in der wertemenge?
nehmen wir doch einfach mal mein beispiel vom anfang an oder noch andere
z.b. f(x)=3x
x=3 dann bedeutet das doch x=3 ist meine definitionsbereich=? richtig?
und
f(3)=3*3
f(x)=9 ist meine wertemenge? ist das richtig?
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Hallo Lucky Real!
Ich versuche Dir das mal ein wenig zu erläutern.
> Ein Beispiel: oft betrachtet man Abbildungen . In diesem
> Fall sind sowohl Definitionsmenge als auch Wertemenge die
> reellen Zahlen. Eine solche Abbildung kann man durch ihre
> Abbildungsvorschrift geben, z.B.
>
> Beispiel hier von dir
> f(x)=5
>
>
> Damit würde jeder reellen Zahl der Wert 5 zugeordnet. Eine
> solche Abbildung heißt "konstant" und ist von dem oben
> erwähnten Typ - jedes Element aus der Definitionsmenge geht
> auf das gleiche Element aus der Wertemenge und alle anderen
> reellen Zahlen außer 5 in der Wertemenge werden nicht als
> Bild angenommen.
Da habe ich keine Einwände.
> also sehe ich das richtig nun...
> der funktion f(x)=5 gebe ich den wert? oder sie hat den
> wert 5?
Also:
Wenn man eine Funktion definiert, gibt man sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich an.
[mm]f:\IR \rightarrow \IR, f(x) = 5 [/mm].
Das wäre eine korrekte Definition dieser konstanten Funktion.
Stelle dir das mal im Koordinatensystem vor (Zeichne es dir mal auf).
Diese Funktion ist eine Parallele zur x-Achse mit dem Wert 5, d.h. sie geht zum Beispiel durch den Punkt (0;5), (1737554734;5)
> und wieso sind alle zahlen ausser 5 in der wertemenge?
Also ordnet f jedem x aus dem Def.bereich den Wert 5 zu.
> nehmen wir doch einfach mal mein beispiel vom anfang an
> oder noch andere
> z.b. f(x)=3x
> x=3 dann bedeutet das doch x=3 ist meine
> definitionsbereich=? richtig?
Nein, Du hast hier eine lineare Funktion, also eine Gerade.
Lineare Funktionen haben als Definitionsbereich die reellen Zahlen, ebenso wie der Wertebereich.
> f(3)=3*3
> f(x)=9 ist meine wertemenge? ist das richtig?
Nein, 9 ist ein Element deiner Wertemenge.
Bei math. Funktionen sucht man immer den grösst möglichen Def.bereich.
Ich hoffe, ich konnte Dir ein wenig weiterhelfen.
Gruss,
Wurzelpi
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