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| Aufgabe | Sei [mm]K=R.[/mm] Weiter sei [mm]\gamma : K^3 \to K^3 , \gamma(x)=[/mm] A*x die lineare abbildung, welche durch die Matrix A [mm]\in M_3,_3(K)[/mm] mit charakteristischem Polynom [mm]P_\gamma (x) = P_A (x)= (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)^2[/mm]
A) [mm]\gamma[/mm] ist genau bijektiv, wenn [mm]\lambda_1\neq 0, \lambda_2\neq 0[/mm]
B) gilt [mm]\lambda_1 \ = \lambda_2, [/mm] so ist A genau diagonalisierbar, wenn A schon diagonalform hat.
Zu A)
Ist falsch, denn wenn [mm]\lambda_1 \ = \lambda_2= 0[/mm] folgt aus [mm]P_\gamma (x) = P_A (x)= (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)^2[/mm] [mm] =x^3 [/mm] und [mm] x^3 [/mm] ist doch eine bijektive abbildung. Ist das so richtig?
Zu B) ist wahr, den die einheitsmatrix ist in diaogalfomr und ist auch diagonalsierbar.
was agt ihr dazu? |
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Hallo martinmax,
> Sei [mm]K=R.[/mm] Weiter sei [mm]\gamma : K^3 \to K^3 , \gamma(x)=[/mm] A*x
> die lineare abbildung, welche durch die Matrix A [mm]\in M_3,_3(K)[/mm]
> mit charakteristischem Polynom [mm]P_\gamma (x) = P_A (x)= (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)^2[/mm]
>
> A) [mm]\gamma[/mm] ist genau bijektiv, wenn [mm]\lambda_1\neq 0, \lambda_2\neq 0[/mm]
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> B) gilt [mm]\lambda_1 \ = \lambda_2,[/mm] so ist A genau
> diagonalisierbar, wenn A schon diagonalform hat.
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> Zu A)
> Ist falsch, denn wenn [mm]\lambda_1 \ = \lambda_2= 0[/mm] folgt
> aus [mm]P_\gamma (x) = P_A (x)= (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)^2[/mm]
> [mm]=x^3[/mm] und [mm]x^3[/mm] ist doch eine bijektive abbildung. Ist das so richtig?![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was bedeutet es denn, wenn es einen Eigenwert 0 gibt? Dann ist die Dimension des Kerns [mm] \geq1. [/mm] Kann die lin. Abbildung dann bijektiv sein?
>
> Zu B) ist wahr, den die einheitsmatrix ist in diaogalfomr
> und ist auch diagonalsierbar.
Beweis durch (ein richtiges) Beispiel wird in der Mathematik nicht anerkannt. Es ist eine Äquivalenz zu zeigen!
Schreib dir die Richtungen auf und begründe jeweils. Die Rückrichtung ist klar.
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Voraussetzung: Die Matrix ist diagbar und hat nur einen einzigen Eigenwert [mm] \lambda=\lambda_1=\lambda_2.
[/mm]
Dann muss der Eigenraum zu diesem Eigenwert Dimension 3 haben (warum?)
Folglich muss [mm] A-\lambda*E [/mm] die Nullmatrix sein (warum?)
Daraus folgt [mm] A=\lambda*E
[/mm]
>
> was agt ihr dazu?
>
LG
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