Bijektive Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 So 12.02.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung
[mm] \pmat{ 2 & -3 & 5 \\ 12 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & -2} \to
[/mm]
[mm] \pmat{ t & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1-t} [/mm]
Die Abbildungsmatrix sei
[mm] \pmat{ -2t-9 & t+4 & -7t-30 \\ -2 & 1 & -8 \\ 11t-9 & 4-5t & 38t-31} [/mm] |
Frage: Für welche [mm] t\varepsilon\IR [/mm] ist die Abbildung bijektiv?
Die zweite matrix muss invertierbar sein, d. h. detA muss ungleich null sein.
Mit
[mm] t_{1}\not=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] t_{2}\not=\bruch{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
ergibt sich:
[mm] t\varepsilon\IR\backslash\ {t_{1},t_{2}}
[/mm]
Stimmt das so oder mach ich mir das leben zu einfach??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 So 12.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
deine Darstellung einer Abbildung ist leider nicht wirklich leserlich und inhaltlich auch falsch, denn du willst ja eigentlich keien Abbildung von einer Matrix auf eine andere Matrix beschreiben, sondern vielmehr sagen, dass die Spalten der ersten Matrix auf die Spalten der zweiten Matrix abgebildet werden, oder?
Aber wenn man dies dann mal tatsächlich so verstanden hat, dann stimmen deine Überlegungen wohl, denn wenn das Bild (also die drei Bildvektoren) linear unabhängig sind, dann ist ihr rang=3 und deshalb ist die Abbildung surjektiv , wegen dem Dimensionssatz folgt dann natürlich sofort die Injektivität.
Deine Rechnung stimmt wohl auch so (die werte).
Eigentlich sollte man nur mal überprüfen, ob die drei Spalten der ersten Matrix tatsächlich eine Basis bilden, also linear unabhängig sind !
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 12.02.2006 | | Autor: | papillon |
Aha, interessant. Wir haben das in einer vorlesung mal genau so dargestellt, aber du hast recht: Die abbildung soll natürlich vektoren abbilden.
Die vektoren der ersten basis sind meiner rechnung nach linear unabhängig, die determinante der ersten matrix ist nämlich ungleich null.
Also stimmt mein ansatz aber, dass die zweite basis invertierbar sein muss?
Danke schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 12.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja unter der Vorraussetztung, dass du ueberprueft hast, dass die erste Matrix auch invertierbar ist (also linear unabhaengige Vektoren darin sind), sollte dein Ansatz stimmen - es sei denn, ich habe gerade Tomaten auf den Augen.
(und warum du ersteres noch ueberpruefen musstest ist hoffentlich auch klar geworden durch meine erste Antwort, oder?)
viele Gruesse
DaMenge
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