Bijektive Abbildung R2 -> R2 < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe eine ähnliche Frage schon einmal gestellt.
Hier nun eine weitere Frage dazu:
Angenommen ich habe eine Abbildung:
h: (a,b) [mm] \to (\mu,\sigma), [/mm] wobei [mm] a,b,\mu,\sigma \in \IR [/mm] oder [mm] \in \IR^{+} [/mm] sind.
Aus den vorherigen Antworten schließe ich, dass eine eindeutige Zuordnung von (a,b) nach [mm] (\mu,\sigma) [/mm] und umgekehrt genau dann existiert, wenn h bijektiv ist. Stimmt das?
Falls ja, wie kann ich diesen Satz: "Eine eindeutige Zuordnung von (a,b) nach [mm] (\mu,\sigma) [/mm] und umgekehrt existiert genau dann wenn h bijektiv ist" in eine sparsame mathematische Notation verpacken?
Ich danke im Voraus für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Mi 28.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast : $h: [mm] \IR^2 \to \IR^2$.
[/mm]
Die Umkehrabbildung [mm] $h^{-1}: h(\IR^2) \to \IR^2$ [/mm] existiert genau dann, wenn h injektiv ist.
[mm] $h^{-1}: \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] existiert genau dann, wenn h bijektiv ist.
FRED
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Danke für die schnelle Antwort, Fred.
Es stellt sich mir jedoch noch die Frage, wie ich zum Ausdruck bringe, dass es verschiedene Funktionen h gibt, deren Definitions- und Wertebereiche von den zugrunde liegenden Parametern (a,b), bzw. [mm] (\mu,\sigma) [/mm] abhängen?
Spontan dachte ich da an so etwas wie:
[mm] h_{a,b,\mu,\sigma}: (\mathcal{D}_{a},\mathcal{D}_{b}) \to (\mathcal{W}_{\mu},\mathcal{W}_{\sigma}), [/mm] oder
[mm] h||a,b,\mu,\sigma: (\mathcal{D}_{a},\mathcal{D}_{b}) \to (\mathcal{W}_{\mu},\mathcal{W}_{\sigma}), [/mm] oder
[mm] h(a,b,\mu,\sigma): (\mathcal{D}_{a},\mathcal{D}_{b}) \to (\mathcal{W}_{\mu},\mathcal{W}_{\sigma}),
[/mm]
wobei [mm] \mathcal{D}_{a},\mathcal{D}_{b} [/mm] die Definitionsbereiche von a und b
und [mm] \mathcal{W}_{\mu},\mathcal{W}_{\sigma} [/mm] die Wertebereiche von [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] bezeichnen.
Ich bitte um Verbesserung und konstruktive Kritik.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Mi 28.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Da blick ich nicht mehr durch.
Zum einen schreibst Du:
" ......Definitions- und Wertebereiche von den zugrunde liegenden Parametern (a,b), bzw. $ [mm] (\mu,\sigma) [/mm] $ abhängen ....."
Und zum anderen:
" .........$ [mm] \mathcal{D}_{a},\mathcal{D}_{b} [/mm] $ die Definitionsbereiche von a und b
und $ [mm] \mathcal{W}_{\mu},\mathcal{W}_{\sigma} [/mm] $ die Wertebereiche von $ [mm] \mu [/mm] $ und $ [mm] \sigma [/mm] $ bezeichnen ..."
Das widerspricht sich doch hinten und vorne
FRED
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Ich habe die Frage noch einmal neu formuliert und ein Beispiel angegeben.
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Das tut mir leid!
Ich räume durchaus ein, dass meine Ausdrucksweise zuweilen etwas ungenau ist. Ich formuliere also noch einmal wie folgt um:
Angenommen ich habe eine Abbildung:
h: (a,b) [mm] \to (\mu,\sigma), [/mm] wobei a [mm] \in \mathcal{D}_{a}, [/mm] b [mm] \in \mathcal{D}_{b}, \mu \in \mathcal{D}_{\mu}, \sigma \in \mathcal{D}_{\sigma}.
[/mm]
Wie kann ich diesen Satz: "Eine eindeutige Zuordnung von (a,b) nach [mm] (\mu,\sigma) [/mm] und umgekehrt existiert genau dann wenn h bijektiv ist" in eine sparsame mathematische Notation verpacken?
Nun schrieb Fred:
Du hast : $ h: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] $.
Die Umkehrabbildung $ [mm] h^{-1}: h(\IR^2) \to \IR^2 [/mm] $ existiert genau dann, wenn h injektiv ist.
$ [mm] h^{-1}: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] $ existiert genau dann, wenn h bijektiv ist.
Ich möchte das nun für die veränderten Definitionsbereiche der Parameter a, b, [mm] \mu, \sigma [/mm] ausdrücken.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Danke für die Geduld.
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Hallo,
ich verstehe überhaupt nicht, was Du willst - und wenn ich es verstünde, wüßte ich nicht genau, auf welchem Niveau ich antworten sollte, da mir Deine math. Vorbildung völlig unklar ist.
Vielleicht konkretisierst Du Dein Anliegen erstmal etwas, z.B. durch die genaue Angabe des Aufgabentextes (Problems), welches Dich zu diesen Grübeleien geführt hat.
Da Du im Forum "Lineare Algebra" gepostet hast, vermute ich ja, daß Dein Problem diesem Bereich entstammt.
Die umkehrbaren linearen Abbildungen aus dem [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] sind diejenigen, deren Darstellungsmatrix invertierbar sind. (Das nur, falls der Wind aus dieser Richtung weht...)
Du fragst eingangs nach einer "sparsamen Notation". Wofür?
[mm] "h:\IR^2\to \IR^2 [/mm] hat eine Umkehrabbildung genau dann, wenn h bijektiv ist", ist sparsam genug.
Oder suchst Du sowas:
Sei [mm] h:\IR^2\to \IR^2.
[/mm]
Es gilt:
es existiert eine Funktion [mm] g:\IR^2\to \IR^2 [/mm] mit [mm] g\circ h=h\circ [/mm] g= [mm] id_{\IR^2} [/mm] genau dann, wenn h bijektiv ist.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
Leider gibt es keinen Aufgabentext und ich studiere auch nicht Mathematik.
Ich schreibe an einer Arbeit und habe ein Gleichungssystem:
x = g(a,b)
y = h(a,b)
wobei g und h nicht näher spezifizierte Ausdrücke von a und b sind, z.B.
g(a,b) = [mm] \bruch{b^{2}}{a}, [/mm] h(a,b) = [mm] \bruch{a^{2}}{b^{2}}
[/mm]
g und h könnten jedoch auch andere Ausdrücke von a und b sein.
Im weiteren Teil meiner Arbeit gehe ich davon aus, dass es bei geeigneter Einschränkung der "Definitionsbereiche" von a,b,x und y eine eindeutige Zuordnung gibt. Das muss ich zumindest formal in meiner Arbeit festhalten.
Nun sagte mir jemand, dass ich dazu unterstellen müsse, dass eine Funktion h: [mm] \IR^{2} \times \IR^{2}, [/mm] die (x,y) auf (a,b) abbildet bijektiv sei (sofern x,y,a,b [mm] \in \IR).
[/mm]
Ich kann nicht sagen, ob diese Aussage richtig ist, oder ob es überhaupt sinnvoll ist, hier eine solche Funktion h zu definieren.
Mein Interesse besteht darin, in "Mathenotation" zu sagen, dass ich von der Annahme ausgehe, dass eine solche eindeutige Zuordnung existriert (mit ggf. eingeschränkten "Definitionsbereichen").
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Ein letztes mal, dass ich auf diese völlig unpräzise Fragestellung eingehe:
Du hat eine Abbildung [mm] $h:\IR^2 \to \IR^2$ [/mm] . Weiter hast Du eine Teilmenge D des [mm] \IR^2 [/mm] mit:
die Einschränkung [mm] $h_{|_D}$ [/mm] von h auf D ist injektiv.
Dann ist [mm] $h_{|_D}: [/mm] D [mm] \to [/mm] h(D)$ bijektiv.
Meinst Du sowas ?
FRED
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Naja, ich dachte, ich hätte es schon weiter präzisiert. Nach einer etwas ausgiebigeren Recherche versuche ich es mal so zu erklären:
Gegeben sei ein nichtlineares, reelles Gleichungssystem:
f1 (x1 , x2) = 0
f2 (x1 , x2) = 0
Dies lässt sich jetzt etwas kompakter in Vekotrschreibweise darstellen:
[mm] \vec{f}(\vec{x}) [/mm] = [mm] \vektor{f1(\vec{x}) \\ f2(\vec{x})} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
mit [mm] \vec{x}=\vektor{x1 \\ x2} [/mm] und f: D [mm] \subset \IR^{2} \to \IR^{2}
[/mm]
Unter "eindeutig" verstehe ich nun, dass es nur einen Parametervektor [mm] \vec{x^{*}} \in [/mm] D gibt, für den gilt:
[mm] \vec{f}(\vec{x^{*}}) [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Was mir nun noch fehlt ist die Ausdrucksweise dafür, dass es nur einen solchen Parametervektor [mm] \vec{x}^{*} [/mm] gibt, z.B. vielleicht
[mm] \vec{f}(\vec{x^{*}}) [/mm] = [mm] \vec{0} \gdw \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{x}^{*}
[/mm]
Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich mit der linken Seite: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{x}^{*} [/mm] auch wirklich aussage: "... genau dann wenn der Parametervektor [mm] \vec{x} [/mm] diesem einen Parametervektor [mm] \vec{x}^{*} [/mm] entspricht."
Wenn diese Frage jetzt auch zu unpräzise war, tut es mir leid und ich werde auf weiteres nachfragen verzichten.
Danke für die Geduld.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Warum schreibst Du nicht einfach:
"Die Funktion $ f: D [mm] \subset \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] $ hat in D genau eine Nullstelle "
?
FRED
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Das könnte ich schon machen, aber ich möchte im späteren Teil der Arbeit darauf eingehen. Wenn ich es also als Ausdruck formuliere und mit einer Referenz, z.b. (3) am Rand versehe, dann kann ich einfach darauf Bezug nehmen. Irgendwie finde ich jedoch einen Satz mit einer Randreferenz anstelle eines Ausdruckes weniger ästhetisch.
Ist es denn möglich, das ganze in einen Ausdruck zu verpacken?
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Mein Gott, jedesmal was Neues .....
Vielleicht so:
[mm] $\exists_1 [/mm] x [mm] \in [/mm] D: f(x)=0$
FRED
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