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Hallo ich hab gerade mit dem Mathematikstudium angefangen und bin leicht am Verzweifeln weil ich mit der Unimathematik noch nicht wirklich vertraut bin:
jetzt hätte ich eine große bitte könnte mir jemand bei folgendem Beispiel helfen:
Zeigen Sie, dass die Funktion
f: [mm] [0,\infty)\to[0,\infty):x\mapsto x^{4}
[/mm]
bijektiv ist.
Ich hab leider keine Ahnung wie ich da anfangen soll. Würde mich echt über jede Art von Denkanstoß freuen
lg Karin
Ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 So 06.11.2005 | | Autor: | tobi.m |
Hallo Karin,
bijektiv ist injektiv und surjektiv. Es ist also zu zeigen das die Abbildung injektiv und surjektiv ist.
f:A [mm] \mapsto [/mm] B
[mm] f(f^{-1}(b))=b, \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B
und
[mm] f^{-1}(f(a))=a, \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A
Bijektiv bedeutet also das die Funktion auf dem gegebenen Intervall invertierbar ist.
Das sollte jetzt mit deiner Funktion kein Problem sein.
Viel Erfolg bei deinem Mathestudium
Tobias
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Vielen Dank erstmals für die schnelle Antwort.
Das es surjektiv und injektiv sein muss ist mir klar nur die Frage ist es wie ich das an meinem Beispiel zeige. Ich weiß nicht wie man die Theorie umsetzt. Wenn mir da noch wer helfen könnte wäre ich sehr froh
lg Karin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 So 06.11.2005 | | Autor: | tobi.m |
Hallo Karin,
für deine Aufgabe ist das ganz leicht:
f(x) = [mm] x^{4}
[/mm]
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] f(f^{-1}(x)) [/mm] = [mm] (x^{\bruch{1}{4}})^{4}= x^{\bruch{1}{4}*4} [/mm] = x, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [0,\infty)
[/mm]
Sieht schon mal gut aus, da aber die Mengen unendlich sind müssen wir das auch in die andere Richtung zeigen. (für A endlich mit f:A [mm] \mapsto [/mm] A reicht es eine Richtung zu zeigen)
[mm] f(f^{-1}(x)) [/mm] = [mm] (x^{4})^{\bruch{1}{4}} [/mm] = x, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [0,\infty)
[/mm]
Die Funktion [mm] f:[0,\infty)\to[0,\infty):x\mapsto x^{4} [/mm] ist also bijektiv in dem Intervall [mm] [0,\infty). [/mm] (Aber nicht in ganz [mm] \IR)
[/mm]
Gruss
Tobias
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so das hab ich jetzt alles verstanden. danke nochmals nur eine Frage hätte ich da trotzdem noch
müsste es nicht beim 2.mal heißen???
[mm] f^{-1}(f(x))=(x^4)^\bruch{1}{4}=x [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 So 06.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo BitterSweet!
Du hast Recht. Da wird sich der Fehler durch das Kopieren eingeschlichen haben.
Gruß
Loddar
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