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| Aufgabe | | Sei [mm] \IZ [/mm] die Menge der ganzen Zahlen und U die Menge der ungeraden ganzen Zahlen. Durch die Vorschrift f(n) = 2n+1 wird eine Abbildung f: [mm] \IZ \to [/mm] U definiert. Zeigen sie, dass f bijektiv ist. |
Mit bitte um Korrektur:
f: [mm] \IZ \to [/mm] U definiert durch f(n) = 2n+1
Ist f: [mm] \IZ \to [/mm] U bijektiv, so existiert zu jedem y [mm] \in [/mm] Y genau ein x [mm] \in [/mm] X mit f(x) = y.
f: [mm] \IZ \to \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \} [/mm] = [mm] \{2n+1: n \in \IZ \}
[/mm]
f(n) = 2n+1 ; bijektiv
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo gosejohann,
> Ist f: [mm]\IZ \to[/mm] U bijektiv, so existiert zu jedem y [mm]\in[/mm] Y
> genau ein x [mm]\in[/mm] X mit f(x) = y.
Du willst gerade die Bijektivität von f zeigen. Also gilt es, keine Folgerungen aus der Bijektivität von f zu ziehen, sondern etwas anzugeben, aus dem die Bijektivität von f folgt.
> f: [mm]\IZ \to \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \}[/mm] =
> [mm]\{2n+1: n \in \IZ \}[/mm]
Wahrscheinlich hast du dich hier nur verschrieben und meintest [mm] $\{\ldots-5,,-3,-1,1,3,5\ldots\}$ [/mm] statt [mm] $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \}$.
[/mm]
> f(n) = 2n+1 ; bijektiv
Bisher hast du noch kein Argument für die behauptete Bijektivität geliefert.
Zeige am besten Injektivität und Surjektivität von f nacheinander.
Zur Injektivität: Seien [mm] $n,m\in\IZ$ [/mm] mit $f(n)=f(m)$. Zu zeigen ist n=m.
Zur Surjektivität: Sei [mm] $u\in [/mm] U$ eine ungerade ganze Zahl. Zu zeigen ist, dass ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] existiert mit $f(n)=u$.
Da u ungerade, ist u-1 gerade. Also existiert ein [mm] $m\in\IZ$ [/mm] mit $2m=u-1$.
Kommst du damit weiter?
Viele Grüße
Tobias
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mir fällt es schwer diesen Beweis niederzuschreiben, weil wir dazu nur Zahlenbeispiele gemacht haben.
f: [mm] \IZ \to [/mm] U ist bijektiv, wenn f: [mm] \IZ \to [/mm] U sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Es gilt f(U) ist Teilmenge aller ungeraden ganzen Zahlen. Denn für jedes n [mm] \in [/mm] U ist f(n)=2n+1 eine ungerade ganze Zahl.
Es gilt: Die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen ist Teilmenge von f(U).
n,m [mm] \in \IZ [/mm] mit f(n) = f(m)
Sei m eine ungerade ganze Zahl. Dann gilt m =2n+1 für ein n [mm] \in [/mm] U. Nun ist aber f(n)=2n+1 = m. Also gilt m [mm] \in [/mm] f(U).
Danke für Antworten!
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> Damit ist [mm] $U\subseteq f(\IZ)$ [/mm] bewiesen. Was sagt das über die Injektivität oder Surjektivität von f aus?
Damit ist die Surjektivität bewiesen, weil jeder mögliche Wert in der Zielmenge angenommen werden kann?
Vielen Dank für deine Mühe, tobit09 :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Damit ist [mm]U\subseteq f(\IZ)[/mm] bewiesen. Was sagt das über
> die Injektivität oder Surjektivität von f aus?
>
> Damit ist die Surjektivität bewiesen, weil jeder mögliche
> Wert in der Zielmenge angenommen werden kann?
Ja.
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