Bijektivität einer Abbildung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Laura94 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Abblidung
von [mm] \IN x\IN [/mm] nach [mm] \IN [/mm]
f: (k,l) [mm] \mapsto [/mm] k+(k+l)(k+l+1)
bijektiv ist
[mm] (\IN [/mm] immer einschließlich 0/ [mm] \IN x\IN [/mm] soll das kartesische Produkt der natürlichen Zahlen darstellen) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich verstehe die Aufgabenstellung und ich weiß auch was surjektiv und injektiv bedeutet.
Jedoch habe ich Probleme damit zu beweisen, dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist, obwohl ich die Definitionen kenne.
injektiv:
[mm] \forall (k1,l1),(k2,l2)\in \IN x\IN: f(k1,l1)=f(k2,l2)\Rightarrow [/mm] (k1,l1)=(k2,l2)
surjektiv:
[mm] \forall y\in \IN \exists (k,l)\in \IN x\IN: [/mm] y= f(k,l)
Könnt ihr mir helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Fr 03.01.2014 | | Autor: | hippias |
Meine spontane Idee ist Induktion: Der Induktionsschritt koennte etwa so funktionieren: Wenn $n= k+(k+l)(k+l+1)$ ist, dann ist $n+1= k+1+((k+1)+(l-1))((k+1)(l-1)+1)$, wobei [mm] $l-1\in \IN$ [/mm] gilt, falls $l>0$ ist.
Durch entsprechende Fallunterscheidung von $l=0$ und $l>0$ muesste sich gut die Surjektivitaet ergeben. Fuer die Injektivitaet wuerde ich minimales Gegenbeispiel [mm] $n\in \IN$ [/mm] zu [mm] $|f^{-1}(n)|=1$ [/mm] waehlen. Durch Betrachtung von $n-1$ koennte sich durch obige Ueberlegung ein Widerspruch ergeben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
überprüfe bitte die Aufgabenstellung.
Die angegebene Abbildung ist nicht surjektiv, z.B. wird 1 nicht erreicht.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Abbildung muss lauten : $ (k,l) [mm] \mapsto k+\bruch{1}{2}*(k+l)*(k+l+1) [/mm] $
Gruß Sax.
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