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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:05 Mo 13.07.2009 | | Autor: | bcc |
Hallo Leute,
ich bitte um Eure Hilfe. Ich habe diese bzw. eine entsprechende Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.quantnet.org/forum/showthread.php?t=4859
Es geht um die (numerische) Inversion von zweiseitigen Laplace-Transformationen, zu der die von mir gefundene Literatur, wie ich finde, sehr widersprüchlich ist.
Die (einseitige) Laplace-Transformation [mm] F [/mm] der Abbildung [mm] f [/mm] ist bekanntlich
[mm] $$F(s)=\int_0^{+\infty} \exp(-s\cdot t)\cdot f(t) dt$$[/mm],
die z.B. mithlife des Algorithmusses von (Dubner and Abate, 1968, Numerical Inversion of Laplace Transforms by Relating Them to the Finite Fourier Cosine Transform) numerisch relativ leicht invertiert werden kann:
[mm] $$f(t) =\frac{\exp(A/2)}{2} \cdot \left[ \frac{1}{2} \cdot F \left( \frac{A}{2 \cdot t} \right) + \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k \cdot \Re \left\{ F\left( \frac{A+ 2 \cdot \pi \cdot k \cdot \sqrt{-1}}{2 \cdot t} \right) \right\} \right] $$,
[/mm]
wobei [mm] A [/mm] eine Konstante ist und [mm] \Re\{..\} [/mm] für den Realteil steht.
Die zweiseitige Laplace-Transformation [mm] \hat{F} [/mm] der Abbildung [mm] f [/mm] unterscheidet sich von der einseitigen derart, dass das entsprechende Integral nicht bei [mm] 0 [/mm] sondern bei [mm] - \infty [/mm] beginnt. Die Definition ist also:
[mm] $$\hat{F}(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-s\cdot t)\cdot f(t) dt$$[/mm]
Meine eigentliche Frage lautet: Wie lässt sich die zweiseitige Laplace Transformation [mm] \hat{F} [/mm] numerisch oder analytisch invertieren?
Hat jemand einen Tipp oder eine Literaturempfehlung? Vielen Dank für Eure Beiträge.
Einige Beispiele aus der Literatur, die ich gefunden habe:
(1) Zweiseitige Laplace-Transformationen werden u.A. in den Optionspreismodellen von (Kou, Petrella, Wang, 2005, Pricing Path-Dependent Options with Jump Risk via Laplace Transforms) benutzt.
Die Autoren sagen, dass sie zur Inversion die Methode von (Petrella, 2004, An Extension of the Euler Laplace Transform Inversion Algorithm with Applications in Option Pricing) verwenden, die auf (Dubner und Abate, 1968) basieren soll.
Allerdings werden von (Petrella, 2004) lediglich Bedingungen genannt, die eine Anwendung von (Dubner und Abate, 1968) für "Funktionen auf der ganzen reellen Achse" ermöglichen. Die Inversionsformel (siehe oben) bleibt dabei unverändert. Da die zu integrierenden Funktionen der Form [mm] \exp(-s\cdot t)\cdot f(t) [/mm] in (Kou, Petrella, Wang, 2005) mit der x-Achse auch im negativen Bereich --also links von der y-Achse-- im Allgemeinen eine nicht zu vernachlässigende Fläche einschließen, so bleibt es in (Petrella, 2004) im Weiteren völlig unklar, wie die von (Kou, Petrella, Wang, 2005) hergeleiteten geschlossenen Ausdrücke für zweiseitige Laplace-Transformationen invertiert werden sollen.
(2) Nach (Cahreca, 2007, A Finite-Interval Uniqueness Theorem for Bilateral Laplace Transforms) ist die ursprüngliche Abbildung durch die Existenz der zweiseitigen Laplace-Transformation eindeutig bestimmt. Jedoch sind die zur Inversion angegebenen Formeln identisch mit dem Bromwich-Integral, welcher zur analytischen Inversion der einseitigen Laplace-Transformation verwendet wird.
(3) In (Dishon und Weiss, 1978, Numerical Inversion of Mellin and Two-Sided Laplace Transforms) wird ein Algorithmus zur numerischen Inversion der Mellin-Transformation vorgestellt, welche auf die zweiseitige Laplace-Transformation zurückgeführt wird. Die entsprechende Formel für das Inverse der zweiseitigen Transformierte stimmt allerdings mit der aus (Dubner und Abate, 1968) überein, wie es aus (Davies und Martin, 1979, Numerical Inversion of the Laplace Transform: A Survey and Comparison of Methods) hervorgeht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Mo 13.07.2009 | | Autor: | wogie |
Man könnte die Funktion [mm]f[/mm] einfach fouriertransformieren via
[mm] \hat{f}(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-ist) f(t) dt[/mm]
In deiner Notation wäre dann [mm]\hat F=\hat f(-is)[/mm].
dies würde sozusagen einer anlaytischen Fortsetzung von [mm]\hat f[/mm] entsprechen. Das Fourierintegral kann man invertieren und zum schluss könnte man die Fortsetzung wieder rückgängig machen
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mo 13.07.2009 | | Autor: | bcc |
Hallo wogie, vielen Dank schonmal.
Bei mir ist die zweiseitige Laplace-Transformation [mm] \hat{F} [/mm] gegeben.
Soll ich nun diese in ein Fourier-Integral überführen? D.h. --um bei der Notation zu bleiben--, es gilt ja [mm] \hat{F}(s)= \hat{f}(-i \cdot s) [/mm] bzw. durch [mm] \hat{F}(i\cdot s)= \hat{f}(s) [/mm] erhalte ich dann ein Fourier-Integral. (Diese sind ja i.A. relativ einfach invertierbar.)
Meinst Du, ich soll das resultierende Fourier-Integral dann invertieren, um dann die Funktion [mm] f [/mm] zu erhalten? Ist es kein Problem, wenn [mm] \hat{F}(i\cdot s) [/mm] konvex ist und damit auch das Fourier-Integral?
> Man könnte die Funktion [mm]f[/mm] einfach fouriertransformieren
> via
>
> [mm]\hat{f}(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-ist) f(t) dt[/mm]
>
> In deiner Notation wäre dann [mm]\hat F=\hat f(-is)[/mm].
> dies
> würde sozusagen einer anlaytischen Fortsetzung von [mm]\hat f[/mm]
> entsprechen. Das Fourierintegral kann man invertieren und
> zum schluss könnte man die Fortsetzung wieder rückgängig
> machen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 13.07.2009 | | Autor: | wogie |
bin selber nicht begeistert von meinem Ansatz. hab aber was gefunden
http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm
btw. die inverse laplacetrafo wird auch Bromwich-Integral genannt. müsstest dich mal in des thema einlesen, es läuft aber wohl oder übel auf analytische fortsetzungen hinaus. man muss nur immer aufpassen, dass man keinen blödsinn treibt mit evtl. vorhandenen singularitäten.
Gruß
ps. kannst ja ne lösung posten, wenn dus raus hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Di 14.07.2009 | | Autor: | bcc |
Hallo, leider funktioniert diese Vorgehensweise nicht.
Der Bromwich-Integral bezieht sich auf die Inversion von einseitigen, nicht aber von zweiseitigen Laplace-Transformationen.
Die Suche geht also weiter..
Trotzdem, danke ertmal..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 13.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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