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Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Aussage in einer Musterlösung.
Grundlegendes: Seien V ein endlichdimensionaler eukidischer Vektorraum mit Skalarprodukt < * , * >, [mm] \Phi [/mm] ein Endomorphismus von V und [mm] \Phi^{+} [/mm] der dazu adjungierte Endomorphismus.
Weiter gelte [mm] (Bild(\Phi))^{\perp} [/mm] = [mm] Kern(\Phi^{+})
[/mm]
Hinweis: [mm] (Bild(\Phi))^{\perp} [/mm] ist das orthogonale Komplement von [mm] Bild(\Phi).
[/mm]
So. Aufgrund dieser Informationen macht die Musterlösung die folgende Aussage:
Jeder Vektor v [mm] \in [/mm] V lässt sich auf eindeutige Weise schreiben als v = [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] mit [mm] v_1 \in Bild(\Phi) [/mm] und [mm] v_2 \in Kern(\Phi^{+}).
[/mm]
Ich frage mich, wieso dem so ist und wie die Musterlösung überhaupt auf diese Aussage kommt.
Natürlich habe ich überlegt...
[mm] Bild(\Phi) [/mm] = [mm] \{\Phi(v) | v \in V\}
[/mm]
[mm] Kern(\Phi^{+}) [/mm] = [mm] \{v \in V | \Phi^{+}(v) = 0\}
[/mm]
und nicht zu vergessen: [mm] Kern(\Phi^{+}) [/mm] ist gleich [mm] (Bild(\Phi))^{\perp}.
[/mm]
Dies würde ja bedeuten, dass [mm] v_2 [/mm] auch in [mm] (Bild(\Phi))^{\perp} [/mm] liegt.
Jetzt versuche ich die Aussage mal anders zu formulieren:
Jeder Vektor aus V lässt sich in eindeutiger Weise "zusammensetzen" aus einem Vektor [mm] v_1, [/mm] der im Bild von [mm] \Phi [/mm] liegt und einem Vektor [mm] v_2, [/mm] der im orthogonalen Komplement vom Bild von [mm] \Phi [/mm] liegt.
Das bedeutet ja, dass [mm] [/mm] = 0. Richtig?
Aber das erklärt ja alles nicht, wieso sich ein v [mm] \in [/mm] V derart bilden lässt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zu einer Aussage in einer
> Musterlösung.
>
> Grundlegendes: Seien V ein endlichdimensionaler eukidischer
> Vektorraum mit Skalarprodukt < * , * >, [mm]\Phi[/mm] ein
> Endomorphismus von V und [mm]\Phi^{+}[/mm] der dazu adjungierte
> Endomorphismus.
>
> Weiter gelte [mm](Bild(\Phi))^{\perp}[/mm] = [mm]Kern(\Phi^{+})[/mm]
>
> Hinweis: [mm](Bild(\Phi))^{\perp}[/mm] ist das orthogonale
> Komplement von [mm]Bild(\Phi).[/mm]
>
> So. Aufgrund dieser Informationen macht die Musterlösung
> die folgende Aussage:
>
> Jeder Vektor v [mm]\in[/mm] V lässt sich auf eindeutige Weise
> schreiben als v = [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2[/mm] mit [mm]v_1 \in Bild(\Phi)[/mm] und [mm]v_2 \in Kern(\Phi^{+}).[/mm]
>
> Ich frage mich, wieso dem so ist und wie die Musterlösung
> überhaupt auf diese Aussage kommt.
Du hast
[mm](Bild(\Phi))^{\perp}[/mm] = [mm]Kern(\Phi^{+})[/mm],
also ist (nach Def. des orth. Komplements)
$V = [mm] Bild(\Phi) \oplus (Bild(\Phi))^{\perp} [/mm] = [mm] Bild(\Phi) \oplus Kern(\Phi^{+})$
[/mm]
Ist es jetzt klar ?
FRED
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> Natürlich habe ich überlegt...
>
> [mm]Bild(\Phi)[/mm] = [mm]\{\Phi(v) | v \in V\}[/mm]
> [mm]Kern(\Phi^{+})[/mm] = [mm]\{v \in V | \Phi^{+}(v) = 0\}[/mm]
>
> und nicht zu vergessen: [mm]Kern(\Phi^{+})[/mm] ist gleich
> [mm](Bild(\Phi))^{\perp}.[/mm]
>
> Dies würde ja bedeuten, dass [mm]v_2[/mm] auch in
> [mm](Bild(\Phi))^{\perp}[/mm] liegt.
>
> Jetzt versuche ich die Aussage mal anders zu formulieren:
>
> Jeder Vektor aus V lässt sich in eindeutiger Weise
> "zusammensetzen" aus einem Vektor [mm]v_1,[/mm] der im Bild von [mm]\Phi[/mm]
> liegt und einem Vektor [mm]v_2,[/mm] der im orthogonalen Komplement
> vom Bild von [mm]\Phi[/mm] liegt.
>
> Das bedeutet ja, dass [mm][/mm] = 0. Richtig?
>
> Aber das erklärt ja alles nicht, wieso sich ein v [mm]\in[/mm] V
> derart bilden lässt.
>
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Ja klar. Wie konnte ich das nur bei meinen Überlegungen nicht berücksichtigen?
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