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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Di 15.08.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Weiter sei [mm]\phi \in End_K(V)[/mm]
a)Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) [mm]Kern(\phi) = Kern(\phi^2)[/mm]
(ii) [mm]Bild(\phi) \cap Kern(\phi) = {0}[/mm]
(iii) [mm]V = Bild(\phi) \oplus Kern(\phi)[/mm]
(iv) [mm] Bild(\phi) [/mm] = [mm] Bild(\phi^2)[/mm]
[/mm]
b) Finden Sie einen (nit notwendigerweise endlich-dimensionalen) [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum W und ein [mm]\nu \in End_\IQ(W)[/mm] welche (i) und (ii) aus a) erfüllen, nicht aber (iii).
c) Zeigen SIe, dass es ein n>0 gibt mit [mm]V=Bild(\phi^n) \oplus Kern(\phi^n)[/mm].
d) Geben SIe einen (nicht notwendigerweise endlich-dimensionalen) [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum W und ein [mm]\nu \in End_\IQ(W)[/mm] an mit [mm]W \not= Bild(\nu^n) \oplus Kern(\nu^n)[/mm] für alle n>0. |
Und nochmal hallo,
alsohier bei dieser Aufgabe habe ich nun wirklich keinen Plan. Ich weiß nur, dass ich bei a) so einen Ringschluss als Beweis machen sollte, nehme ich mal stark an, aber ich weiß nicht wie. Könnt ihr mir vielleicht heflen. Wäre wirklich super lieb.
LG
Elbi
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Hallo elbi,
> Es sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler
> K-Vektorraum. Weiter sei [mm]\phi \in End_K(V)[/mm]
>
> a)Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
> (i) [mm]Kern(\phi) = Kern(\phi^2)[/mm]
> (ii) [mm]Bild(\phi) \cap Kern(\phi) = {0}[/mm]
>
> (iii) [mm]V = Bild(\phi) \oplus Kern(\phi)[/mm]
> (iv) [mm]Bild(\phi)[/mm] =
> [mm]Bild(\phi^2)[/mm][/mm]
>
gut versuchen wir den ringschluß:
i)=>ii)
bei solchen beweisen hilft es oft weiter, sich die aussagen einfach mal konkret aufzuschreiben und zu versuchen wie weit man kommt
i) bedeutet
[mm] $\forall v\in [/mm] V: [mm] \phi(v)=0 \gdw \phi^2(v)=\phi(\phi(v))=0$
[/mm]
es gilt nun
[mm] $v\in \operatorname{im} \phi \cap \ker \phi :\gdw \phi(v)=0 \wedge \exists w\in [/mm] V: [mm] \phi(w)=v$
[/mm]
gelte also nun i), zu zeigen ist, dass die schnittmenge nur die 0 enthält:
[mm] $\phi(v)=0 \wedge \exists w\in [/mm] V: [mm] \phi(w)=v$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \phi(\phi(w))=0$
[/mm]
Mit i) folgt:
[mm] $\Rightarrow \phi(w)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] v=0$
Damit ist diese folgerung schon erledigt.
ii)=>iii) schau dir hierzu mal die dimensionsformel für Untervektorräume an.
iii)=>iv) wieder: schreib dir hin, was zu zeigen ist, nämlich
[mm] $\exists w\in V:\phi(w)=v \gdw \exists \tilde w\in V:\phi(\phi(\tilde [/mm] w))=v$
die rückrichtung ist sehr einfach, die hinrichtung etwas schwieriger. versuchs mal!
iv)=>i) hier hilft wieder die dimensionsformel bzw. der rangsatz.
Gruß
Matthias
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zu b)
> (i) [mm]Kern(\phi) = Kern(\phi^2)[/mm]
> (ii) [mm]Bild(\phi) \cap Kern(\phi) = {0}[/mm]
> (iii) [mm]V = Bild(\phi) \oplus Kern(\phi)[/mm]
Am einfachsten kannst du (i) und (ii) erfüllen, wenn du den Morphismus injektiv wählst, denn dann sind (i) und (ii) automatisch erfüllt. Wenn du ihn zusätzlich nicht-surjektiv wählst, ist (iii) nicht erfüllt.
Alles was du also tun musst, ist einen unendlichdimensionalen Q-Vektorraum V zu finden (dass es bei endlichdimensionalen nicht geht, beweist du ja im a-Teil), und darin einen Endomorphismus der injektiv aber nicht surjektiv ist.
> c) Zeigen SIe, dass es ein n>0 gibt mit [mm]V=Bild(\phi^n) \oplus Kern(\phi^n)[/mm].
Diese Aufgabe gilt wohl wieder unter der Voraussetzung, dass V endlichdimensional ist. Dazu zeigst du, dass stets [mm] $Kern(\phi^m) \subseteq Kern(\phi^{m+1})$ [/mm] ist. Dann weißt du, dass der Kern stets ein Untervektorraum ist, und mit der endlichen Dimension erhältst du, dass diese monoton wachsende Folge von Untervektorräumen irgendwann nicht mehr echt monoton wächst. Damit ist (i) für eine Potenz von [mm] $\phi$ [/mm] erfüllt. Mit a) folgt die Behauptung.
> d) Geben SIe einen (nicht notwendigerweise
> endlich-dimensionalen) [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum W und ein [mm]\nu \in End_\IQ(W)[/mm]
> an mit [mm]W \not= Bild(\nu^n) \oplus Kern(\nu^n)[/mm] für alle
> n>0.
Hier funktioniert der injektive nichtsurjektive Endomorphismus von b).
Gruß,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mi 16.08.2006 | | Autor: | Elbi |
Also c) habe ich verstanden, aber zu b) (und dann logischerweise zu d) ) habe ich eine Frage. Also ich bin mir nicht so ganz sicher, aber mir fällt kein unendlichdimensionaler [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum ein bzw. ist [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum stets unendlich dimensional? Ich weiß, blöde Frage, aber weiß das jetzt nicht und dann klappt die b) mit verstehen nicht richtig...
Aber danke für eure Hilfe, den Rest habe ich verstanden!
LG
Elbi
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Hi,
ich würde mich nicht so auf das [mm] $\IQ$ [/mm] fixieren, aus meiner Sicht ist es eigentlich unerheblich, ob du einen unendlichdimensionalen [mm] $\IQ$- [/mm] oder [mm] $\IR$-VR [/mm] nimmst.
wichtig ist, dass dir überhaupt einer einfällt, und dass du einen morphismus findest, der injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Sagen dir folgen-räume etwas?
Gruß
Matthias
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