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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Di 17.03.2009 | | Autor: | Yami |
Hallo, leute
sooo da die Prüfung schon bald vor der tür steht wollte ich nochmal um eure hilfe bitten.
Ich habe hier paar Aufgaben gelöst und wollte wissen ob das alles so stimmt was ich gezaubert habe
edit: da ich selber gemerkt habe das das vielleicht zu viel für nen post ist teile ich das besser mal auf
Fangen wir mal an:
Aufgabe 3:
a) Charakterisieren Sie dijenigen linearen Abbildungen [mm] T:\IR^3 \to \IR^3,deren [/mm] Bild durch die kanonischen Einheitsvektoren erzeugt wird.
b) Sei T lineare Abbildung mit [mm] T:\IR \to \IR. [/mm] Leiten Sie explizit her, wie diese Abbildung (Funktion) auf dem [mm] \IR^1 [/mm] konkret aussieht, d.h. wie die Funktionsvorschrift lautet.
zu a)
[mm] T(\vec{x}) [/mm] = [mm] \vec{y} [/mm] so [mm] f(\vec{x}) [/mm] ist mein Bild und somit auch so in der form vorhanden A eine 3 X 3 Matrix
[mm] f(\vec{x}) [/mm] = [mm] A*\vec{x}
[/mm]
nun da das Bild durch die Einheitsvektoren erzeugt wird kann ich schreiben:
[mm] A*\vec{x} [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i } *\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
=
[mm] \pmat{ a*x_1 & b*x_2 & c*x_3 \\ d*x_1 & e*x_2 & f*x_3 \\ g*x_1 & h*x_2 & i*x_3 } [/mm] = [mm] \vektor{\lambda_1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ \lambda_2 \\ 0 } [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \lambda_3 }
[/mm]
=
[mm] \pmat{ a*x_1 & b*x_2 & c*x_3 \\ d*x_1 & e*x_2 & f*x_3 \\ g*x_1 & h*x_2 & i*x_3 } [/mm] = [mm] \vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 }
[/mm]
daraus folgt:
a=1, b=0, c=0
d=0, e=1, f=0
g=0, h=0, i=1
also ist A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
zu b) fällt mir nichts ein
so das wars erstmal ^^ ich bedanke mich jetzt schonmal für alle Antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Di 17.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Hallo, leute
>
> sooo da die Prüfung schon bald vor der tür steht wollte ich
> nochmal um eure hilfe bitten.
>
> Ich habe hier paar Aufgaben gelöst und wollte wissen ob das
> alles so stimmt was ich gezaubert habe
>
> edit: da ich selber gemerkt habe das das vielleicht zu viel
> für nen post ist teile ich das besser mal auf
>
> Fangen wir mal an:
>
> Aufgabe 3:
>
> a) Charakterisieren Sie dijenigen linearen Abbildungen
> [mm]T:\IR^3 \to \IR^3,deren[/mm] Bild durch die kanonischen
> Einheitsvektoren erzeugt wird.
>
> b) Sei T lineare Abbildung mit [mm]T:\IR \to \IR.[/mm] Leiten Sie
> explizit her, wie diese Abbildung (Funktion) auf dem [mm]\IR^1[/mm]
> konkret aussieht, d.h. wie die Funktionsvorschrift lautet.
>
> zu a)
>
> [mm]T(\vec{x})[/mm] = [mm]\vec{y}[/mm] so [mm]f(\vec{x})[/mm] ist mein Bild und somit
> auch so in der form vorhanden A eine 3 X 3 Matrix
> [mm]f(\vec{x})[/mm] = [mm]A*\vec{x}[/mm]
>
> nun da das Bild durch die Einheitsvektoren erzeugt wird
> kann ich schreiben:
> [mm]A*\vec{x}[/mm] = [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] *
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> [mm]\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i } *\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> = [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> + [mm]\lambda_3[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
Richtig.
> =
>
> [mm]\pmat{ a*x_1 & b*x_2 & c*x_3 \\ d*x_1 & e*x_2 & f*x_3 \\ g*x_1 & h*x_2 & i*x_3 }[/mm]
> = [mm]\vektor{\lambda_1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ \lambda_2 \\ 0 }[/mm]
> + [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \lambda_3 }[/mm]
Hier wirds schon falsch. Es muss doch [mm] $Ax=\vektor{ax_1+bx_2+cx_e\\fx_1+gx_2+...\\...}$ [/mm] heißen.
> =
>
> [mm]\pmat{ a*x_1 & b*x_2 & c*x_3 \\ d*x_1 & e*x_2 & f*x_3 \\ g*x_1 & h*x_2 & i*x_3 }[/mm]
> = [mm]\vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 }[/mm]
>
> daraus folgt:
> a=1, b=0, c=0
> d=0, e=1, f=0
> g=0, h=0, i=1
Nein! Wie soll das folgen? Ich vermute du hattest am Anfang die Idee, dass wohl nur die Einheitsmatrix in Frage kommt - zweifellos ein hübsche Theorie, die es Wert ist mal überprüft zu werden. Aber du musst schon während der Rechnung bereit sein, deine Theorie aufzugeben wenn es Murx wird.
Ich geb dir mal nen kleinen Schubs in die richtige Richtung. Wenn das Bild von A von den Standarteinheitsvektoren erzeugt wird, dann heißt das, dass das Bild ganz [mm] $\IR^3$ [/mm] ist, d.h. A ist surjektiv.... jetzt bist du wieder dran.
> also ist A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> zu b) fällt mir nichts ein
1) Wähle eine Basis. Besonders einfach ist ja z.B. [mm] $B=\{1\}$.
[/mm]
2) Wie sieht nun die Matrixdarstellung aus von A bzgl dieser Basis aus? D.h. welche Größe hat die Matrix?
3) Was ist nun [mm] $A\cdot\vec{x}$?
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Di 17.03.2009 | | Autor: | Yami |
> > Hallo, leute
> >
> > sooo da die Prüfung schon bald vor der tür steht wollte ich
> > nochmal um eure hilfe bitten.
> >
> > Ich habe hier paar Aufgaben gelöst und wollte wissen ob das
> > alles so stimmt was ich gezaubert habe
> >
> > edit: da ich selber gemerkt habe das das vielleicht zu viel
> > für nen post ist teile ich das besser mal auf
> >
> > Fangen wir mal an:
> >
> > Aufgabe 3:
> >
> > a) Charakterisieren Sie dijenigen linearen Abbildungen
> > [mm]T:\IR^3 \to \IR^3,deren[/mm] Bild durch die kanonischen
> > Einheitsvektoren erzeugt wird.
> >
> > b) Sei T lineare Abbildung mit [mm]T:\IR \to \IR.[/mm] Leiten Sie
> > explizit her, wie diese Abbildung (Funktion) auf dem [mm]\IR^1[/mm]
> > konkret aussieht, d.h. wie die Funktionsvorschrift lautet.
> >
> > zu a)
> >
> > [mm]T(\vec{x})[/mm] = [mm]\vec{y}[/mm] so [mm]f(\vec{x})[/mm] ist mein Bild und somit
> > auch so in der form vorhanden A eine 3 X 3 Matrix
> > [mm]f(\vec{x})[/mm] = [mm]A*\vec{x}[/mm]
> >
> > nun da das Bild durch die Einheitsvektoren erzeugt wird
> > kann ich schreiben:
> > [mm]A*\vec{x}[/mm] = [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] +
> [mm]\lambda_2[/mm] *
> > [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> > [mm]\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i } *\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> > = [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> > + [mm]\lambda_3[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> Richtig.
> > =
> >
> > [mm]\pmat{ a*x_1 & b*x_2 & c*x_3 \\ d*x_1 & e*x_2 & f*x_3 \\ g*x_1 & h*x_2 & i*x_3 }[/mm]
> > = [mm]\vektor{\lambda_1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ \lambda_2 \\ 0 }[/mm]
> > + [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \lambda_3 }[/mm]
> Hier wirds schon falsch.
> Es muss doch [mm]Ax=\vektor{ax_1+bx_2+cx_e\\fx_1+gx_2+...\\...}[/mm]
> heißen.
> > =
> >
> > [mm]\pmat{ a*x_1 & b*x_2 & c*x_3 \\ d*x_1 & e*x_2 & f*x_3 \\ g*x_1 & h*x_2 & i*x_3 }[/mm]
> > = [mm]\vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 }[/mm]
> >
> > daraus folgt:
> > a=1, b=0, c=0
> > d=0, e=1, f=0
> > g=0, h=0, i=1
> Nein! Wie soll das folgen? Ich vermute du hattest am
> Anfang die Idee, dass wohl nur die Einheitsmatrix in Frage
> kommt - zweifellos ein hübsche Theorie, die es Wert ist mal
> überprüft zu werden. Aber du musst schon während der
> Rechnung bereit sein, deine Theorie aufzugeben wenn es Murx
> wird.
>
> Ich geb dir mal nen kleinen Schubs in die richtige
> Richtung. Wenn das Bild von A von den
> Standarteinheitsvektoren erzeugt wird, dann heißt das, dass
> das Bild ganz [mm]\IR^3[/mm] ist, d.h. A ist surjektiv.... jetzt
> bist du wieder dran.
>
> Gruß, Robert
Also ich habe mich mal rangesetzt und versucht die Aufgabe weiter zu lösen doch naja so richtig sehe ich da nichts.....
also ich habe da ja follgendes stehen:
[mm] \pmat{ a*x_1 + b*x_2 + c*x_3 \\ d*x_1 + e*x_2 + f*x_3 \\ g*x_1 + h*x_2 + i*x_3 } [/mm] = [mm] \vektor{ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3}
[/mm]
wie ich auf die Einheitsmatrix gekommen bin ist das ich jetzt die linke Matrix auf die Vektoren abbilden muss und das kriege ich nur mit der Einheitsmatrix hin.
denn wenn [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3}
[/mm]
und somit
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3}
[/mm]
diese Variante habe ich aus einer anderen Aufgabe wo das bild von den beiden Vektoren erzeugt wird :
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6} [/mm]
das habe ich dann auch so hingeschrieben:
[mm] A*\vec{x} =\lambda_1 [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6} [/mm]
und am ende hatte ich:
A = [mm] \pmat{ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 3 & 6 & 0 }
[/mm]
danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 17.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Also ganz erhlich, ich versteh beim besten Willen nicht, was du mir eigentlich sagen willst.
> also ich habe da ja follgendes stehen:
> [mm]\pmat{ a*x_1 + b*x_2 + c*x_3 \\ d*x_1 + e*x_2 + f*x_3 \\ g*x_1 + h*x_2 + i*x_3 }[/mm] = [mm]\vektor{ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3}[/mm]
>
> wie ich auf die Einheitsmatrix gekommen bin ist das ich
> jetzt die linke Matrix auf die Vektoren abbilden muss und
> das kriege ich nur mit der Einheitsmatrix hin.
Hä? Was für ne linke Matrix? Was bekommst du nur wie hin? Es würde auch helfen wenn du mal ein bischen Grammatik benutzen würdest.
> denn wenn [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] = [mm]\vektor{ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3}[/mm]
Warum sollte das gelten? (**)
> und somit
Was du meinst ist "dann", nicht "und somit". Es heißt "Wenn, ..., dann"! Sorry dass ich da so penibel bin, aber das ist einfach absolut notwendig, da es in der Mathematik extrem darauf ankommt WORAUS du WAS folgern willst.
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] = [mm]\vektor{ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3}[/mm]
Naja... die Folgerung stimmt soweit, aber die Voraussetzung (**) gilt i.A. halt nicht.
Naja, eh wir jetzt noch mehr Mühe darauf verschwenden (sorry, das klingt hart, ist aber die Wahrheit), den Fehler in deinem falschen Beweis zu suchen, probier doch nochmal den anderen Ansatz den ich dir gesagt habe:
Wenn das Bild von den Standartbasisvektoren erzeugt wird, dann heißt das, dass A surjektiv ist (warum?). Also ist A auch injektiv (warum?). Also ist A insgesamt bijektiv (warum?)! Das ist die Charakterisierung die gesucht ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Di 17.03.2009 | | Autor: | Yami |
Ich werde mir mühe geben meine Formulierung an die Mathematik anzupassen da es wirklich sehr komisch klingt wenn man es sich selber nochmal durchliest.
[mm] T:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ist eine lineare Abbildung.
Deren Bild wird durch die Einheitsvektoren erzeugt.
daraus folgt:
Wenn die Einheitsvektoren ein Erzeugendensystem bilden ist die Abbildung surjektiv und somit auch A.
die einheitsvektoren sind linear unabhängig daraus folgt das die Abbildung und somit A injektiv ist
Wenn A nun surjektiv und injektiv ist, folgt das A auch bijektiv ist.
So aber wo ist da die Lösung ? ich müßte doch für A eine Matrix angeben oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 17.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ich werde mir mühe geben meine Formulierung an die
> Mathematik anzupassen da es wirklich sehr komisch klingt
> wenn man es sich selber nochmal durchliest.
>
> [mm]T:\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist eine lineare Abbildung.
> Deren Bild wird durch die Einheitsvektoren erzeugt.
> daraus folgt:
> Wenn die Einheitsvektoren ein Erzeugendensystem bilden ist
> die Abbildung surjektiv und somit auch A.
Was ist A? Ich nehme an die darstellende Matrix von T bezüglich der Standartbasis...? Nun, wie kann eine Matrix surjektiv sein? (Das ist ne Fangfrage...)
> die einheitsvektoren sind linear unabhängig daraus folgt
> das die Abbildung und somit A injektiv ist
Nein, Betrache z.B. die lineare Abbildung $B:\IR^4\to\IR^3$, die bzgl. der Standartbasen die Darstellungsmatrix $$\pmat{1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0$$ besitzt. Das Bild wird erzeugt von den Standartbasisvektoren des $\IR^3$, aber B ist nicht injektiv, denn $B(1,0,0,0)=B(0,0,0,1)$
> Wenn A nun surjektiv und injektiv ist, folgt das A auch
> bijektiv ist.
Klar, das ist die Definition von Bijektivität.
> So aber wo ist da die Lösung ? ich müßte doch für A eine
> Matrix angeben oder?
Es gibt halt keine eindeutig bestimmte Matrix. Alle bijektiven linearen Abbildungen (die nach Wahl von Basen durch invertierbare Matrizen repräsentiert werden) kommen als Abbildung in Frage und umgekehrt erfüllt jede bijektive lineare Abbildung die geforderte Bedingung.
Daher ist die Menge der linearen Abbildungen von $\IR^3\to\IR^3$, deren Bild durch die Standartbasisvektoren erzeugt wird genau die Menge der bijektiven linearen Abbildungen von $\IR^3$ nach $\IR^3$.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 17.03.2009 | | Autor: | Yami |
Doch was genau müßte ich meinem Prof jetzt hinschreiben wenn er mir so eine Aufgabe stellen würde?
zu der c) nochmal wenn ich nun meine Menge habe B:= {1} und das ist meine Basis dann brauch ich doch keine Matrix (A) um das darzustellen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Di 17.03.2009 | | Autor: | pelzig |
a) Ist [mm] $T:\IR^3\to\IR^3$ [/mm] linear und [mm] $T(\IR^3)$ [/mm] wird erzeugt durch die Standartbasisvektoren, so folgt [mm] $T(\IR^3)=\IR^3$, [/mm] d.h. T ist surjektiv. Da außerdem die Dimension von Quell- und Zielmenge gleich sind, ist T auch injektiv, also bijektiv. Umgekehrt, ist [mm] $\Phi:\IR^3\to\IR^3$ [/mm] linear und bijektiv, also surjektiv, dann wird das Bild durch die Standartbasisvektoren erzeugt.
b) Ist [mm] $T:\IR\to\IR$ [/mm] linear, dann ist für alle [mm] $x\in\IR$ $$T(x)=T(x\cdot 1)=x\cdot(T(1))$$ [/mm] d.h. T ist gerade die Multiplikation mit der Konstanten [mm] $T(1)\in\IR$.
[/mm]
Gruß, Robert
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