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| Aufgabe | | Beschreibe die Bilder der Geraden y = x - c , [mm] c\in\IR [/mm] unter der komplexen Exponentialfunktion |
Hi,
bisher habe ich mir [mm] e^{z}=e^{x+i(x-c)}=e^{x}\*e^{-ix}\*e^{-ic}
[/mm]
überlegt. Aber mir ist noch nicht klar ob ich noch weiter umformen soll (z.B mit Euler) oder was ich dann über das Bild der Geraden sagen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Fr 27.02.2009 | | Autor: | pelzig |
> bisher habe ich mir [mm]e^{z}=e^{x+i(x-c)}=e^{x}\*e^{-ix}\*e^{-ic}[/mm] überlegt
Richtig. Der letzte Faktor bewirkt eine Drehung um den Winkel $c$ (in Bogenmaß), ist dir das klar?
Jedenfalls brauchen wir uns damit nur noch um den Fall $c=0$ zu kümmern, d.h. das Bild der Exponentialfunktion auf der Menge [mm] $M_0:=\{x+ix\mid x\in\IR\}$. [/mm] Es ist [mm] $e^{x+ix}$ [/mm] diejenige komplexe Zahl, mit Betrag [mm] $e^x$ [/mm] und dem Winkel $x$, d.h. das [mm] $e^{M_0}$ [/mm] ist eine Spirale... wie sieht sie genau aus? Wie sieht nun [mm] $e^{M_c}$ [/mm] für beliebiges [mm] $c\in\IR$ [/mm] aus?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Sa 28.02.2009 | | Autor: | sp1nnaker |
Ja danke, jetzt ist es klar: Der Betrag steigt exponentiell und das Argument nimmt stetig zu, ist aber um den Winkel c "zurückgedreht". Deshalb ist es eine Spirale, die sich im positiven Sinn um den Ursprung dreht (von innen nach außen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Sa 28.02.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ja danke, jetzt ist es klar: Der Betrag steigt exponentiell
> und das Argument nimmt stetig zu, ist aber um den Winkel c
> "zurückgedreht". Deshalb ist es eine Spirale, die sich im
> positiven Sinn um den Ursprung dreht (von innen nach
> außen).
Genau. man beachte dass die spirale in jeder umgebung um 0 bereits unendlich viele umdrehungen gemacht hat - egal wie genau ich dort hinschaue, sie sieht im prinzip immer gleich aus.
Gruß, Robert
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