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| Aufgabe | | A:= [mm] \pmat{ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 } [/mm] |
Hallo, kann mir jemand anhand der Beispielmatrix oben zeigen wie man das Bild Im(A) und eine Basis des Bildes bestimmt ?
Danke schonmal im Vorraus.
Gruß
Thorsten
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Hallo Thorsten,
eine Möglichkeit, das Bild Im(A) zu bestimmen, wäre es, die Menge jener Vektoren zu bestimmen, die durch die Zeilenvektoren der Matrix A erzeugt werden.
D.h. Im(A) = { [mm] \vektor{x \\ y\\ z} [/mm] | [mm] \vektor{x \\ y\\ z} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{2\\ -1\\ -1} [/mm] + [mm] \beta [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 2\\ -1} [/mm] + [mm] \gamma [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ -1\\ 2} [/mm] , [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta, \gamma \in [/mm] K, wenn K der zugrundeliegende Körper ist, bei euch wahrscheinlich [mm] \IR [/mm] }.
Das lässt sich vereinfachen. Da du zusätzlich eine Basis dieser Menge bestimmen sollst, könntest du A durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform bringen. Das sähe für deine Matrix etwa so aus:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2}
[/mm]
Ich will zuerst eine Null in Spalte 1 für die Zeilen 2 und 3 erzeugen. Dazu multipliziere ich die Zeilen 2 und 3 mit dem Faktor 2 und addiere sie jeweils auf die erste Zeile. Man erhält:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & -3 & 3} [/mm] = A'
Jetzt will ich eine Null in Spalte 2 für Zeile 3 erzeugen, dazu addiere ich die Zeilen 2 und 3 der Matrix A' und erhalte:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] = A''
Das Erzeugnis der Zeilen von A'' entspricht dem Zeilenerzeugnis von A, also Im(A)=Im(A''). Außerdem sind die von der Nullzeile verschiedenen Zeilen von A'', hier also Zeile 1 und 2 der Matrix A'', linear unabhängig.
Als linear unabhängiges Erzeugendensystem von Im(A'') = Im(A) bilden sie auch eine Basis.
Resultat : eine Basis von Im(A) wäre etwa [mm] (\vektor{2 \\ -1 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 3}) [/mm] und Im(A) = { [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] | [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ -1} [/mm] + [mm] \beta [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 3}, \alpha [/mm] , [mm] \beta \in [/mm] K}
Ich hoffe, das war verständlich.
Statt [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 3} [/mm] hättest du auch alle Vielfache ungleich Null nehmen können, also etwa [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1}. [/mm] Du hättest beim Berechnen der Zeilenstufenform auch in Zeile 1, Spalte 2 eine Null erzeugen können, wäre aber mit (in dem Falle) unnötig höherem Arbeitsaufwand verbunden.
MfG..
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