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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Di 17.02.2009 | | Autor: | unR34L |
| Aufgabe | Sei f : [mm] R^{5} \to R^{4} [/mm] eine durch f(x) = Ax für alle x [mm] \in R^{5}
[/mm]
definierte Abbildung mit:
A = [mm] \pmat{ 2 & 3 & 5 & 1 & 8 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & 0 & 9}
[/mm]
a) Man gebe eine Basis von Bild f an.
b) Man bestimme den Kern der Abbildung und gebe eine Basis von Kern f an. |
Moin!
zu a)
Zur Bestimmung der Basis will ich die transponierte Matrix in zeilenred. Stufenform bringen. Alle Zeilen ungleich 0 sind dann Vektoren der Basis.
Hier wäre es nett, wenn jmd. auch meine Rechenschritte überprüfen könnte.
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & -2 & 4 \\ 5 & -1 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & -1 & -1 & 9}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -\bruch{1}{2} & \bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ 0 & \bruch{3}{2} & -\bruch{13}{2} & \bruch{5}{2} \\ 0 & \bruch{3}{2} & -\bruch{13}{2} & \bruch{5}{2} \\ 0 & \bruch{1}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{1}{2}\\ 0 & 3 & -13 & 5}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -\bruch{2}{3} & \bruch{4}{3} \\ 0 & 1 & -\bruch{13}{3} & \bruch{5}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{2}{3} & -\bruch{4}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Basis vom Bild f = [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -7}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -2} \}
[/mm]
zu b)
Hier habe ich die (erweiterte) Matrix in ZRSF gebracht und kann dann "allgemein" den Kern ablesen und konkret eine Basis angeben.
Dimension des Kernes ist ja 2, da dim Bild f = 3.
Matrix in zeilenred. Stufenform (Rechnung dürfte stimmen, deswegen nur Ergebnis). Letze Spalte ist "Ergebnis" der Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Kern f = [mm] \{ \vektor{ -x_{3} - x_{5} \\ -x_{3} - 2x_{5} \\ x_{3} \\ 0 \\ x_{5}}: x_{3} und x_{5} \in \IR \}
[/mm]
Basis vom Kern f = [mm] \{ \vektor{-2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{-4 \\ -5 \\ 3 \\ 0 \\ 1} \}
[/mm]
Dann hätte ich noch eine allgemeine Frage:
Wenn ich erst den Kern bestimmt hätte und damit die Matrix in zeilenred. Stufenform vorliegt, wie hätte ich daran dann eine Basis des Bilds von f ablesen können?
Danke schonmal für jegliche Hilfe!
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> Sei f : [mm]R^{5} \to R^{4}[/mm] eine durch f(x) = Ax für alle x [mm]\in R^{5}[/mm]
>
> definierte Abbildung mit:
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & 3 & 5 & 1 & 8 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & 0 & 9}[/mm]
>
> a) Man gebe eine Basis von Bild f an.
> b) Man bestimme den Kern der Abbildung und gebe eine Basis
> von Kern f an.
> Moin!
>
> zu a)
> Zur Bestimmung der Basis will ich die transponierte Matrix
> in zeilenred. Stufenform bringen. Alle Zeilen ungleich 0
> sind dann Vektoren der Basis.
> Hier wäre es nett, wenn jmd. auch meine Rechenschritte
> überprüfen könnte.
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & -2 & 4 \\ 5 & -1 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & -1 & -1 & 9}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & -\bruch{1}{2} & \bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ 0 & \bruch{3}{2} & -\bruch{13}{2} & \bruch{5}{2} \\ 0 & \bruch{3}{2} & -\bruch{13}{2} & \bruch{5}{2} \\ 0 & \bruch{1}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{1}{2}\\ 0 & 3 & -13 & 5}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -\bruch{2}{3} & \bruch{4}{3} \\ 0 & 1 & -\bruch{13}{3} & \bruch{5}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{2}{3} & -\bruch{4}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Basis vom Bild f = [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -7}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -2} \}[/mm]
Hallo,
Deine Vorgehensweise ist richtig, man kann das so machen.
Die Dimension des Bildes stimmt auch, nachrechnen möchte ich es nicht.
>
> zu b)
>
> Hier habe ich die (erweiterte) Matrix in ZRSF gebracht und
> kann dann "allgemein" den Kern ablesen und konkret eine
> Basis angeben.
>
> Dimension des Kernes ist ja 2, da dim Bild f = 3.
>
> Matrix in zeilenred. Stufenform (Rechnung dürfte stimmen,
> deswegen nur Ergebnis). Letze Spalte ist "Ergebnis" der
> Matrix
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Ja, so sieht meine red. ZSF auch aus.
>
> Kern f = [mm]\{ \vektor{ -x_{3} - x_{5} \\ -x_{3} - 2x_{5} \\ x_{3} \\ 0 \\ x_{5}}: x_{3} und x_{5} \in \IR \}[/mm]
Ja.
>
> Basis vom Kern f = [mm]\{ \vektor{-2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{-4 \\ -5 \\ 3 \\ 0 \\ 1} \}[/mm]
Das ist richtig, aber unbequem.
Setze doch lieber für den einen Vektor [mm] x_5=1 [/mm] und [mm] x_3=0 [/mm] ,
für den anderen umgekehrt.
Man muß so weniger rechnen.
>
> Dann hätte ich noch eine allgemeine Frage:
>
> Wenn ich erst den Kern bestimmt hätte und damit die Matrix
> in zeilenred. Stufenform vorliegt, wie hätte ich daran dann
> eine Basis des Bilds von f ablesen können?
Du hättest gesehen, daß die führenden Zeilenelemente in der 1., 2. und 4. Spalte stehen, und daraus gewußt, daß der 1., 2. und 4. der ursprünglichen Spaltenvektoren eine Basis des Bildes sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Fr 06.03.2009 | | Autor: | can19 |
hallo,
ich hätte eine frage...und zwar wäre es bei dieser aufgabe nicht einfacher gewesen zuerst den rang der matrix zu bestimmen, daraus folgt dann die dimension des bildes. Dadurch weiß ich viele Basen mein Bild hat und fische mir dann dementsprechend linear unabhängige vektoren aus dem bild.
Könnte man auch so verfahren?
wäre für eine antwort dankbar.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:37 Fr 06.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, man koennte auch so verfahren. aber wie bestimmst du den Rang der Matrix, ohne sie auf Stufenform zu bringen, und dann musst du erst noch "fischen" hast also doppelte oder wenigstens groessere Arbeit. Aber natuerlich geht es auch so, wenn du das lieber machst.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:39 Fr 06.03.2009 | | Autor: | can19 |
ok! danke schön!
hätte noch eine frage...und zwar wenn ich meinen kern bestimmen will, dann löse ich die gleichung nach Ax=0 dh. ich bringe meine matrix auf die erweiterte form und bringe sie auf zeilenstufenform. wenn ich zum beispiel bei einer 3x3-Matirx eine nullzeile hab(und nicht weiter umformen kann), kann ich daraus schließen dass mein bild die dimension 2 hat?
denn dann weiß ich dass mein kern die dimension 1 hat.
lg
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> ok! danke schön!
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> hätte noch eine frage...und zwar wenn ich meinen kern
> bestimmen will, dann löse ich die gleichung nach Ax=0 dh.
> ich bringe meine matrix auf die erweiterte form und bringe
> sie auf zeilenstufenform. wenn ich zum beispiel bei einer
> 3x3-Matirx eine nullzeile hab(und nicht weiter umformen
> kann), kann ich daraus schließen dass mein bild die
> dimension 2 hat?
Hallo,
ja, denn die Anzahl der Nichtnullzeilen sind der Rang, also die Dimension des Bildes, und wenn der Rang =2 ist, muß die Dimension des Kerns bei einer 3x3-Matrix =1 sein.
Gruß v. Angela
> denn dann weiß ich dass mein kern die dimension 1 hat.
>
> lg
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