Bild und Kern lineare Abbildun < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 So 15.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
| Aufgabe | Wir untersuchen die folgende Matrix
-1 -1 2 -2 2
2 -1 -1 -2 -2
1 -5 4 -10 2
1 2 0 0 -1
1. Welche Rang hat A?
2. Bestimmen sie eine Basis von im (f) und ker(f)
3. Ergänzen sie gefundene Basis von im (f) zu einer Basis von [mm] \IR4 [/mm] |
Hallo!
Hab ich folgendes gemacht
1. Rang ist 3
2. Basis von im(f) ist (-1,2,1,1), (-1,-1,-5,2), (2,-1,4,0)
3. Ergänzende Basis von im (f) ist (-1,2,1,1), (-1,-1,-5,2), (2,-1,4,0), (1,0,0,0)
Und wer sagt mir, wie kann ich Basis von ker (f) finden?
Danke!
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Hallo,
da man den Kern aus der Zeilenstufenform abliest, wäre es gut, würdest Du diese posten.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 So 15.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir untersuchen die folgende Matrix
>
> -1 -1 2 -2 2
> 2 -1 -1 -2 -2
> 1 -5 4 -10 2
> 1 2 0 0 -1
>
> 1. Welche Rang hat A?
> 2. Bestimmen sie eine Basis von im (f) und ker(f)
> 3. Ergänzen sie gefundene Basis von im (f) zu einer Basis
> von [mm]\IR4[/mm]
> Hallo!
> Hab ich folgendes gemacht
> 1. Rang ist 3
> 2. Basis von im(f) ist (-1,2,1,1), (-1,-1,-5,2),
> (2,-1,4,0)
> 3. Ergänzende Basis von im (f) ist (-1,2,1,1),
> (-1,-1,-5,2), (2,-1,4,0), (1,0,0,0)
>
> Und wer sagt mir, wie kann ich Basis von ker (f) finden?
>
> Danke!
Es ist ja [mm] $A\,$ [/mm] gegeben durch
[mm] $$A=\pmat{ -1 & -1 & 2 & -2 & 2\\ 2& -1& -1& -2& -2\\ 1& -5& 4& -10& 2\\ 1& 2& 0& 0& -1}\,,$$
[/mm]
und damit ist [mm] $A\,$ [/mm] eine lineare Abbildung [mm] $\IR^5 \to \IR^4\,.$ $\text{kern}(A)$ [/mm] ist definiert als die Menge aller Vektoren des Urbildraumes (Definitionsbereich, welcher selber ein Vektorraum ist), die als Bild den Nullvektor (des Zielraumes) haben, d.h. oben ist
[mm] $$\text{kern}(A)=\left\{x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5} \in \IR^5:\; A*x=\vektor{0\\0\\0\\0} \right\}\,,$$
[/mm]
mit anderen Worten:
$$x [mm] \in \text{kern}(A)$$ [/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$(\star)\;\;\; \pmat{ -1 & -1 & 2 & -2 & 2\\ 2& -1& -1& -2& -2\\ 1& -5& 4& -10& 2\\ 1& 2& 0& 0& -1}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{0\\0\\0\\0}\,.$$
[/mm]
Die Berechnung von [mm] $\text{kern}(A)$ [/mm] ist also nichts anderes als das Bestimmen der Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems, welches Du aus [mm] $(\star)$ [/mm] erhälst. Dir sollte klar sein, dass diese Lösungsmenge ein linearer Unterraum des [mm] $\IR^5$ [/mm] sein wird, und für diesen ist dann nachher eine Basis anzugeben. Wie Angela schon angedeutet hat, kann man mit der Zeilenstufenform aus [mm] $(\star)$ [/mm] quasi den Kern 'ablesen', das ist nun aber erstmal wieder Deine Aufgabe, bzw. wenn Zwischen- bzw. weitere Nachfragen kommen, wird Dir sicher auch gerne wieder weitergeholfen werden.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 15.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Hallo, Angela.
Hallo Marcel.
Na, ja. Mehr klar ist leider nicht.
ich habe noch folgendes gemacht. LGS geschrieben, aber lösen kann ich schon 1 Stunde nicht :-(, obwohl ich schon Antwort weiß. Ich verstehe überhaupt nicht was ist mit diese Kern ist. Ich weis, das ich LGS so machen muss
-x1-x2+2x3-2x4+2x5=0
-3x2+3x3-6x4+2x5 =0
9x3-12x4-x5 = 0
Dann habe ich zwei unbestimmte, z.B. t1 = x5 und t2 = x4
9x3 = 12t2+ t1
x3 = 12/9t2+1/9t1
Aber das ist Quatsch! So muss nicht sein. Und ich verstehe nicht wo mache ich Fehler.
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> Hallo, Angela.
> Hallo Marcel.
> Na, ja. Mehr klar ist leider nicht.
> ich habe noch folgendes gemacht. LGS geschrieben, aber
> lösen kann ich schon 1 Stunde nicht :-(, obwohl ich schon
> Antwort weiß. Ich verstehe überhaupt nicht was ist mit
> diese Kern ist. Ich weis, das ich LGS so machen muss
>
> -x1-x2+2x3-2x4+2x5=0
> -3x2+3x3-6x4+2x5 =0
> 9x3-12x4-x5 = 0
Hallo,
es sieht mir so aus, als hättest Du Dich am Ende verrechnet. Ich bekomme
[mm] \pmat{-1&-1&2&-2&2&&|0\\0&-3&3&-6&2&&|0\\0&0&9&-12&\red{5}&&|0}
[/mm]
(Überprüfe das, manchmal rechne ich leider auch nicht gut.)
>
> Dann habe ich zwei unbestimmte, z.B. t1 = x5 und t2 = x4
Das ist völlig richtig.
[mm] 9x_3 [/mm] = [mm] 12t_2\red{-5} [/mm] _11
==> [mm] x_3=...
[/mm]
[mm] x_2=...
[/mm]
[mm] x_1=...
[/mm]
>
> Aber das ist Quatsch! So muss nicht sein. Und ich verstehe
> nicht wo mache ich Fehler.
Paßt es jetzt? Wenn ja: dann war Dein Fehler klein. Kein Grund für Sorgen.
Gruß v. Angela
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 15.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Hallo, Angela! Mit Rechnung hattest du recht. Da ist 5 tatsächlich 
Sooo, nach stundenlang sitzen habe ich folgendes:
x1=16/3t2-29/9t1
x2=-2/3t2+1/9t1
x3=4/3t2-5/9t1
Na und? Im Antwort steht Basis von Kern ((7,1,-5,0,9), (4,-2,4,3,0))
Wie bekomme ich so was? Das ist ein Rätzel für mich :-(
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> Hallo, Angela! Mit Rechnung hattest du recht. Da ist 5
> tatsächlich
> Sooo, nach stundenlang sitzen habe ich folgendes:
>
> x1=16/3t2-29/9t1
> x2=-2/3t2+1/9t1
> x3=4/3t2-5/9t1
>
> Na und? Im Antwort steht Basis von Kern ((7,1,-5,0,9),
> (4,-2,4,3,0))
> Wie bekomme ich so was? Das ist ein Rätzel für mich :-(
Hallo,
vielleicht sagst du erstmal, welche Basis Du nun ausgerechnet hast. Die Basis ist nicht eindeutig. Es kann verschiedenen richtige Lösungen geben.
gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 So 15.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Ja. Kann ich.
Wir untersuchen die folgende Matrix
-1 -1 2 -2 2
2 -1 -1 -2 -2
1 -5 4 -10 2
1 2 0 0 -1
1. Welche Rang hat A?
2. Bestimmen sie eine Basis von im (f) und ker(f)
3. Ergänzen sie gefundene Basis von im (f) zu einer Basis von
Hallo!
Hab ich folgendes gemacht
1. Rang ist 3
2. Basis von im(f) ist (-1,2,1,1), (-1,-1,-5,2), (2,-1,4,0)
3. Ergänzende Basis von im (f) ist (-1,2,1,1), (-1,-1,-5,2), (2,-1,4,0), (1,0,0,0)
Und wer sagt mir, wie kann ich Basis von ker (f) finden?
Mich interessiert einfach WIE kann ich Basis für Kern bestimmen, von wo muss ich anfangen?
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> Mich interessiert einfach WIE kann ich Basis für Kern
> bestimmen, von wo muss ich anfangen?
Hallo,
Du hattest doch völlig richtig begonnen - abgesehen, von dem Fehler in der Zeilenstufenform.
Schreibe [mm] x_3, x_2, x_1 [/mm] auf, dann kann man Dir wieterhelfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 So 15.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Ich habe schon diese x1, x2, x3 geschrieben
x1=16/3t2-29/9t1
x2=-2/3t2+1/9t1
x3=4/3t2-5/9t1
Aber das ist nicht richtige Antwort.
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> Ich habe schon diese x1, x2, x3 geschrieben
>
> x1=16/3t2-29/9t1
> x2=-2/3t2+1/9t1
> x3=4/3t2-5/9t1
>
> Aber das ist nicht richtige Antwort.
Hallo,
ich bin heute zu müde zum nachrechnen.
Welches ist die Antwort, die Du vorliegen hast? Es gibt viele richtige Antworten!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 So 15.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Verstehe Ich bin auch schon fix und vertig. Ich sitze mit diese Aufgabe schon von 14 Uhr :-( Ich habe alles gerechnet, auser dieser Basis für Kern. Und richtige Antwort lautet
((7,1,-5,0,9), (4,-2,4,3,0))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 So 15.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du weisst doch schon, dass du genau 2 linear unabh. Loesungen brauchst. du kannst also z. bsp einmal x5=t1=0 x4=t2=1 und dann t1=1 und t2=0 setzen. x1,x2,x3 dann bestimmen. dann hast du 2 linear unabhaengige Vektoren die im Kern liegen.
Dei basis des Kerns ist wie alle basen nicht eindeutig, deine Loesung kann also von der angegebenen verschieden sein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 So 15.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Hallo. Woher ich weiss, das x5 = 0, und x4 = 1? und nicht z.B. x5 =6 und x4 =-3???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 So 15.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du weisst der Kern ist 2 dimensional. du sagst selbst x4 und x5 kannst du beliebig waehlen. Das habe ich gemacht. (und zwar moeglichst einfach!Du kannst auch statt 0 und 1 zwei beliebige andere Werte nehmen, nur nicht beide gleichzeitig 0.
Durch meine Wahl sind die 2 Loesungen dann automatisch linear unabhaengig. und wenn du irgend 2 lin. unabhaengige Vektoren hast, also 2 die M*x=0 erfuellen bist du fertig.
Nochmal, die Basis sind irgend 2 lin unabhaengige Vektoren die das GS loesen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 So 15.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Hallo, Leduart
Meinst du denn bei diese LGS
-x1-x2+2x3-2x4+2x5=0
-3x2+3x3-6x4+2x5=0
9x3-12x4+5x5=0
Soll ich x5=0 und x4=1 einsetzen?
Dann bekomme ich.... moment ich rechne
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 So 15.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Dann bekomme ich
x1=-4
x2=10/3
x3=4/3
x4=1
x5=0
Aber richtige Antwort lautet:
Basis für Kern (f) ist ((7,1,-5,0,9), (4,-2,4,3,0)
Wie bekomme ich so was?
Gruß Sinitsa1
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 So 15.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sinitsa,
ihr redet ein wenig aneinander vorbei. Schlag' nochmal nach:
Jeder endlichdimensionale Vektorraum hat (mindestens) eine Basis, und eine jede solche besteht aus der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Diese Anzahl ist eindeutig, die Basis nicht.
Betrachte auch einfach mal den euklidischen [mm] $\IR^2\,$ [/mm] (also mit üblicher Addition (komponentenweise) und Skalarmultiplikation). Wenn Du für diesen eine Basis angeben willst, so kann man einfach [mm] $\vektor{0\\1}\,,$ $\vektor{1\\0}$ [/mm] wählen. Das ist eine Basis für den [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
Genausogut könnte man [mm] $\vektor{1\\1}\,,$ $\vektor{1\\0}$ [/mm] oder [mm] $$\vektor{2\\1}\,,$ $\vektor{3\\1}$$ [/mm] als Basis wählen.
Es macht bei einem (endlichdimensionalen) Vektorraum also keinen Sinn, zu sagen, dass dieser die Basis hat. Sondern es macht nur Sinn, zu sagen, dass gewisse Vektoren eine Basis für den Vektorraum bilden. Es ist wichtig, dass Du verstehst, dass und wie im endlichdimensionalen Vektorraum die Sätze bzgl.:
[mm] $\bullet$ [/mm] Basisergänzungssatz
[mm] $\bullet$ [/mm] Eine Basis ist eine System, welches aus einer (edit: besser:) der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren besteht (d.h. das System besteht nur aus linear unabhängigen Vektoren und durch jede Hinzunahme irgendeines Vektors aus dem Vektorraum 'wird das neue System dann linear abhängig')
[mm] $\bullet$ [/mm] Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem (d.h. jeder Vektor aus dem VR läßt sich durch eine Linearkombination der Vektoren des Systems darstellen, und 'schmeißt man einen Vektor aus dem System raus, so gibt es einen Vektor des VR's, der sich durch die verbleibenden Vektoren nicht mehr linearkombinieren läßt')
[mm] $\bullet$ [/mm] Dimension des Vektorraums=maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren=minimale Anzahl von Vektoren für ein Erzeugendensystem des VR's
zusammenhängen. Es gibt in Deinem Fall nicht die Lösung für Deine Aufgabe. Basen sind nun mal nicht eindeutig. Das musst Du einfach mal verinnerlichen.
Würde die Aufgabe also lauten:
'Geben Sie eine Basis für den [mm] $\IR^2$ [/mm] an!'
Dann ist es naheliegend, zu schreiben:
[mm] $$\vektor{1\\0},\;\vektor{0\\1} \text{ ist eine Basis für den }\IR^2\,.$$
[/mm]
Aber genauso richtig wäre es, zu sagen:
[mm] $$\vektor{1\\1},\;\vektor{0\\1} \text{ ist eine Basis für den }\IR^2$$
[/mm]
oder
[mm] $$\vektor{2\\3},\;\vektor{2\\0} \text{ ist eine Basis für den }\IR^2\,.$$
[/mm]
Bei Deiner Aufgabe macht es genausowenig Sinn, zu sagen:
'Die richtige Antwort für die Basis lautet...', sondern sinnvollerweise müßtest Du sagen:
Eine richtige Antwort für eine Basis lautet...'
bzw. vll. ein wenig besser formuliert:
Eine Basis wird durch die Vektoren: ... gegeben.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 So 15.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo> Dann bekomme ich
> x1=-4
> x2=10/3
> x3=4/3
> x4=1
> x5=0
Ich habe aus dem gleichen System raus:
x5=0
x4=1
x3=4/3
x2=-2/3
x1=4/3
das ist einer der loesungsvektoren, wenn du ihn mit 3 multiplizierst. Du hast dich verrechnet.
rechne noch den anderen mit x4=0 und x5=1 aus, wenn du das Ergebnis in ganzen Zahlen willst nimm x5=9 dann solltest du den zweiten Vektor rauskriegen.
(die haben dasselbe gemacht, was ich vorgeschlagen haben. damit die Zahlen schoener aussehen, haben sie am Schluss noch so vergroesser, dass ganze zahlen im vektor stehen.
Gruss leduart
PS
Entschuldige, wenn ich dein Deutsch verbessere, aber vielleicht hilft dir das. Wenn du das nicht willst sag es bitte.
> Aber richtige Antwort lautet:
Es heisst : Aber die richtige Antwort lautet.
> Basis für Kern (f) ist ((7,1,-5,0,9), (4,-2,4,3,0)
Basis für den Kern ist
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Mo 16.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Hallo! Für jeder Korrektur mein Deutsch ich bin sehr dankbar. Mach bitte weiter.
LG von Tanja
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> Hallo, Angela! Mit Rechnung hattest du recht. Da ist 5
> tatsächlich
> Sooo, nach stundenlang sitzen habe ich folgendes:
>
> x1=16/3t2-29/9t1
Hallo,
für [mm] x_1 [/mm] bekomme ich
[mm] \red{ x_1=4/3t_2+7/9t_1}
[/mm]
> x2=-2/3t2+1/9t1
> x3=4/3t2-5/9t1
[mm] x_4=t_2
[/mm]
[mm] x_5=t_1.
[/mm]
Ich gewinne die Lösungen ein ganz bißchen anders als leduart, deshalb schreibe ich mal auf:
alle Lösungen haben also die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{4/3t_2+7/9t_1\\-2/3t2+1/9t1\\4/3t2-5/9t1\\t_2\\t_1}=\t_1\vektor{7/9\\1/9\\-5/9\\0\\1} [/mm] + [mm] t_2\vektor{4/3\\-2/3\\4/3\\1\\0}
[/mm]
Also ist [mm] \{\vektor{7/9\\1/9\\-5/9\\0\\1},\vektor{4/3\\-2/3\\4/3\\1\\0}\} [/mm] eine Basis des Kerns.
Wenn man die Vektoren ganzzahlicg macht, dann kommen die Lösungen der Dir vorliegenden Antwort heraus.
Es gibt viele Basen . [mm] \{\vektor{11\\-1\\-1\\3\\9},\vektor{3\\3\\-9\\-3\\9}\} [/mm] wäre auch eine.
Nochmal: Du hast nichts Schlimmes falsch gemacht, sondern Dich nur ein bißchen verrechnet.
Gruß v. Angela
>
> Na und? Im Antwort steht Basis von Kern ((7,1,-5,0,9),
> (4,-2,4,3,0))
> Wie bekomme ich so was? Das ist ein Rätzel für mich :-(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Mo 16.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Liebe Angela, Leduart und Marcel vielen dank für eure Hilfe. Ich habe jetzt diese Aufgabe Kappeirt. Da (wie habe ich schon gesagt) Deutsch ist nicht meine Muttersprache, bekomme ich unglaubliche Schwierigkeiten mit diese Stoff zu verstehen. Ich muss jetzt mich noch zu LINA Klausur (am 21.04) vorbereitet. Das heisst habe ich bestimmt noch mehr Fragen . Noch mal Danke euch für Hilfsbereitschaft.
LG von Tanja
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