www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisBild v. Nullmengen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Analysis" - Bild v. Nullmengen
Bild v. Nullmengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bild v. Nullmengen: Bild v. Nullmengen (Lesbesgue)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Fr 22.10.2004
Autor: Bambi

Hallo liebe MatheRaum.de Community,

ich benötige Hilfe beim Führen eines Beweises:

Ich soll Zeiten, dass das Bild einer Lebesgue-Nullmenge unter einer Lipschitz-stetigen Funktion wieder eine Nullmenge ist.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bild v. Nullmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Fr 22.10.2004
Autor: Stefan

Hallo Bambi!

Da ich die Frage hier schon einmal (vor ca. einem Jahr) beantwortet habe, fällt es mir leich die Antwort einfach zu kopieren ;-) :

Bilder von Nullmengen Lipschitz-stetiger Abbildungen [mm]f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/mm] sind wieder Nullmengen.

Es sei N eine Nullmenge und [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig gewählt. Dann gibt es eine Familie von Würfeln [mm] (J_i), [/mm] die N überdecken und für die

[mm] \sum_{J_i \cap N \ne \emptyset} \vert J_i\vert < \varepsilon[/mm]

gilt. Sei [mm]J_i[/mm] von der Kantenlänge [mm]s_i[/mm]. Weiterhin sei [mm]x_0 \in N \cap J_i[/mm]. Dann gilt für alle [mm]x \in N \cap J_i[/mm]:

[mm]\Vert f(x) - f(x_0)\Vert \le L \cdot \Vert x - x_0\Vert \le L \cdot s_i[/mm] ,

d.h. [mm]f(x)[/mm] liegt in einem Würfel um [mm]f(x_0)[/mm] der Kantenlänge [mm]2Ls_i[/mm].

Dieser Würfel hat also das Volumen [mm](2L)^n \vert J_i\vert[/mm]. Mit anderen Worten: [mm]f(N)[/mm] wird überdeckt von Würfeln [mm](K_i)[/mm] mit

[mm] \sum_{K_i \cap f(N) \ne \emptyset} \vert K_i\vert < (2L)^n \varepsilon[/mm]

Da [mm]\varepsilon[/mm] beliebig war, ist [mm]f(N)[/mm] eine Lebesgue-Nullmenge.

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]