Bild von f beschränkt? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Es sei [mm] B_1(0)\subset\mathbb{R}^n [/mm] der metrische Ball mit Radius 1 um 0 und [mm] $f:B_1(0)\to\mathbb{R}^n$ [/mm] stetig.
Ist das Bild von f notwendigerweise beschränkt? |
Hi,
meiner Meinung nach ist f nicht notwendigerweise beschränkt.
Betrachtet man die stetige Funktion
[mm] $g:B_1(0)\to\mathbb{R}$
[/mm]
[mm] $g(x)=\frac{1}{x}$
[/mm]
So ist das Bild in diesem Bereich nicht beschränkt.
Das einzige Problem was ich mit diesem "Gegenbeispiel" habe ist, dass die Funktion ja für Null nicht definiert ist, aber ich denke nicht, dass es das ganze zum Fall bringt, auch wenn wir den Ball eben um Null betrachten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]B_1(0)\subset\mathbb{R}^n[/mm] der metrische Ball mit
> Radius 1 um 0 und [mm]f:B_1(0)\to\mathbb{R}^n[/mm] stetig.
>
> Ist das Bild von f notwendigerweise beschränkt?
> Hi,
>
> meiner Meinung nach ist f nicht notwendigerweise
> beschränkt.
>
> Betrachtet man die stetige Funktion
>
> [mm]g:B_1(0)\to\mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]g(x)=\frac{1}{x}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> So ist das Bild in diesem Bereich nicht beschränkt.
> Das einzige Problem was ich mit diesem "Gegenbeispiel" habe
> ist, dass die Funktion ja für Null nicht definiert ist,
eben - Deine Funktion "läuft" auf dem Bereich $(-1,1) \setminus \{0\}\,.$
> aber ich denke nicht, dass es das ganze zum Fall bringt,
> auch wenn wir den Ball eben um Null betrachten.
Betrachte $f \colon \IR \setminus \{1\} \to \IR$ mit
$f(x):=\frac{1}{1-x}\,.$
Es ist
$\left.f\right|_{(-1,1)}$
stetig, aber
$f((-1,1))$ (beachte: $(-1,1)=]-1,1[\,$ ist gemeint)
unbeschränkt, weil...?
(P.S. Etwas *angeberischer* wirkt $f(x):=\frac{1}{1-|x|}$ für $x \notin \{-1,1\}$)
P.P.S. Ich nehme an, dass Ball als offener Ball gemeint ist. Denn ginge es
um abgeschlossene:
Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen sind kompakt,
insbesondere abgeschlossen.
Gruß,
Marcel
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> Es sei [mm]B_1(0)\subset\mathbb{R}^n[/mm] der metrische Ball mit
> Radius 1 um 0 und [mm]f:B_1(0)\to\mathbb{R}^n[/mm] stetig.
>
> Ist das Bild von f notwendigerweise beschränkt?
> Hi,
>
> meiner Meinung nach ist f nicht notwendigerweise
> beschränkt.
>
> Betrachtet man die stetige Funktion
>
> [mm]g:B_1(0)\to\mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]g(x)=\frac{1}{x}[/mm]
>
> So ist das Bild in diesem Bereich nicht beschränkt.
> Das einzige Problem was ich mit diesem "Gegenbeispiel" habe
> ist, dass die Funktion ja für Null nicht definiert ist,
> aber ich denke nicht, dass es das ganze zum Fall bringt,
> auch wenn wir den Ball eben um Null betrachten.
Hallo YuSul,
damit die Aufgabe wirklich klar ist, solltest du genau
angeben, was mit [mm] B_1(0) [/mm] gemeint ist. Es könnten da
unterschiedliche Definitionen vorliegen.
Falls $\ [mm] 0\in B_1(0)$ [/mm] sein soll (was ich vermute !), kannst
du natürlich nicht als Gegenbeispiel eine Funktion angeben,
für welche f(0) gar nicht definiert ist.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
[mm] $B_r(p):=\{x\in X|d(p,x)
Der Ball von Radius r um den Punkt p.
Die Antwort von Marcel hat aber denke ich alles geklärt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Yusul,
> [mm]B_r(p):=\{x\in X|d(p,x)
also der offene Ball.
> Der Ball von Radius r um den Punkt p.
>
> Die Antwort von Marcel hat aber denke ich alles geklärt.
Ich denke auch. Damit Du aber auch siehst, dass Dein Beispiel dennoch
gar nicht so unbrauchbar war (es musste nur verifiziert werden):
Du kannst auch
[mm] $f(x)=\frac{1}{x}$
[/mm]
so verifizieren, dass "die Definitionslücke (mit "lokal stets unbeschränkter
Umgebung des Bildes")" einfach auf den Rand verschoben
wird.
[mm] $g(x)=\frac{1}{x-1}$
[/mm]
oder
[mm] $h(x)=\frac{1}{x+1}$
[/mm]
wären dahingehend sehr naheliegend. (Mit entsprechend angepasstem
Definitionsbereich)
Im Prinzip habe ich die Funktion
[mm] $-g\,$ [/mm] bzw. $h [mm] \circ (-\; \cdot)$
[/mm]
hingeschrieben. ($h [mm] \circ [/mm] (- [mm] \cdot)$ [/mm] bedeutet [mm] "$h(-\;x)$").
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja das fand ich auch. Ich denke deine Funktion wäre mein nächstes Beispiel gewesen wenn ihr mir zu erst nur gesagt hättet, dass ich die Definitionslücke nicht einfach ignorieren kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:39 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Yusul,
> Ja das fand ich auch. Ich denke deine Funktion wäre mein
> nächstes Beispiel gewesen wenn ihr mir zu erst nur gesagt
> hättet, dass ich die Definitionslücke nicht einfach
> ignorieren kann.
wenn Euer Prof. Euch das nicht so rübergebracht hat, dass ihr es stark
verinnerlicht habt, hat er - vermutlich - etwas falsch gemacht:
![[]](/images/popup.gif) Definition 1.6, a)
Bei Deiner "Funktion" war, weil [mm] $1/0\,$ [/mm] *unbestimmt* (insbesondere [mm] $\notin \IR$) [/mm] ist,
diese Bedingung für [mm] $x=0\,$ [/mm] verletzt.
"Grobe Merkregel:" Wenn [mm] $f\,$ [/mm] den Definitionsbereich [mm] $D\,$ [/mm] hat, dann muss
man 'für jedes $x [mm] \in [/mm] D$ auch [mm] $f(x)\,$ [/mm] hinschreiben können'.
Hättest Du bei Dir allerdings [mm] $f(0)\,$ [/mm] auch separat definiert - es hätte ja eine
Zahl aus [mm] $\IR$ [/mm] sein müssen, da das der genannte Zielbereich ist - so hättest
Du damit sofort [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] unstetig gemacht.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:24 Sa 26.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich denke mir bei sowas immer, dass [mm] $x\notin [/mm] D$ da der Definitionsbereich von 1/x ja die Null ausschließt. Deshalb ist die Funktion ja auch wunderbar stetig.
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