Bildet (V,+,*)einen Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich kann unten stehende Aufgabe nicht lösen. Ich finde einfach keinen Ansatz, wie ich vorgehen könnte, diese Aufgabe zu lösen. Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Vielen dank.
Es sei: V:= [mm] \IR^+, (\IK,+,.) [/mm] := ( [mm] \IR,+,.) [/mm] und die Vektoraddition durch
[mm] \vec{a} \oplus \vec{b}:=a^.b [/mm] sowie die S-Multiplikation durch r [mm] \odot \vec{a} [/mm] := [mm] a^r [/mm] definiert.
Bildet (V, [mm] \oplus, \odot) [/mm] einen Vektorraum über [mm] \IR?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
also ich würde sagen, dass das kein Vektorraum ist. Wenn ich das richtig verstanden habe, soll [mm] \IR^{+} [/mm] der zugrunde liegende Körper sein. Zunächst ist [mm] \IR^{+} [/mm] ja kein Körper, da die Existenz inverser Elemente bzgl. der Addition nicht gesichert ist und damit sind wir eigentlich schon fertig.
Wenn du dich da verschrieben hast und doch [mm] \IR [/mm] gemeint ist, dann ist das eigentlich ein Vektorraum. Man müsste aber zeigen, dass die Skalarmultiplikation wohldefiniert ist, da diese Definition ja nicht üblich ist.
VG mathmetzsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 So 13.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wenn
> ich das richtig verstanden habe, soll [mm]\IR^{+}[/mm] der zugrunde
> liegende Körper sein.
Ich glaube, das soll die zugrunde liegende Gruppe sein - mit Multiplikation als Gruppenverknüpfung.
> Wenn du dich da verschrieben hast und doch [mm]\IR[/mm] gemeint ist,
> dann ist das eigentlich ein Vektorraum. Man müsste aber
> zeigen, dass die Skalarmultiplikation wohldefiniert ist, da
> diese Definition ja nicht üblich ist.
Wieso wohldefiniert? Wo gibt es denn da ein Wohldefiniertheitsproblem? Wenn ich positive relle Zahlen hoch einer beliebigen rellen Zahle nehme - ist die wieder positiv rell. Fertig.
SEcki
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Hallo,
also, ich habe ziemlich wenig davon, wenn [mm] \IR^{+} [/mm] eine Gruppe ist. Das wusste ich auch. Jedem Vektorraum muss aber ein Körper zugrunde liegen und das ist bei [mm] \IR^{+} [/mm] nun mal nicht der Fall.
Ich bin mir aber nicht sicher, ob das in der Aufgabe so gemeint ist. Ich finde die Definition nämlich nicht ganz eindeutig.
daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 So 13.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> also, ich habe ziemlich wenig davon, wenn [mm]\IR^{+}[/mm] eine
> Gruppe ist. Das wusste ich auch. Jedem Vektorraum muss aber
> ein Körper zugrunde liegen und das ist bei [mm]\IR^{+}[/mm] nun mal
> nicht der Fall.
Es muss ein Körper und eine abelsche gruppe zu Grunde liegen. Die abelsche Gruppe ist hier [m]\IR^+[/m] mit Multiplikation. die Skalarmultiplikation ist das Exponenzieren.
> Ich bin mir aber nicht sicher, ob das in der Aufgabe so
> gemeint ist.
Steht imo glasklar da - aber beim Übertragen Aufgabenzettel nach Forum ist da wohl ein bisschen die Optik verloren gegangen (sprich: OP muss noch noch das Handling mit dem Formeleditor perfektionieren.)
> Ich finde die Definition nämlich nicht ganz
> eindeutig.
Wo ist das Problem?
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 So 13.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Es sei: V:= [mm]\IR^+, (\IK,+,.)[/mm] := ( [mm]\IR,+,.)[/mm] und die
> Vektoraddition durch
> [mm]\vec{a} \oplus \vec{b}:=a^.b[/mm] sowie die S-Multiplikation
> durch r [mm]\odot \vec{a}[/mm] := [mm]a^r[/mm] definiert.
> Bildet (V, [mm]\oplus, \odot)[/mm] einen Vektorraum über [mm]\IR?[/mm]
Im Gegensatz zum anderen Post, ist das für mich ein Vektorraum. Was musst du dazu zeigen? Die Vektorraumaxiome - alle nacheinander, aber das ist imo einfach, zB [m](r+r')*a=a^(r+r')=a^r*a^{r'}=ra\oplus r'a[/m]. Vielleicht übersehe ich ja ein verletztes Axiom - probier mal alle durch.
SEcki
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