Bildmaße und Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 So 19.04.2009 | | Autor: | daria |
Ich verstehe noch nicht den genauen Unterschied der beiden Begriffe, vielleicht kann mir jemand mit einem kleinen Beispiel den Unterschied erklären.
Hier die beide Definitionen:
Bildmaß:
Messräume [mm] $(\Omega, \mathcal{A}), (\Omega', \mathcal{A'})$; [/mm] Abbildung [mm] $X:(\Omega, \mathcal{A}) \to (\Omega', \mathcal{A'})$; [/mm] Maß [mm] $\mu$ [/mm] auf [mm] $\mathcal{A}$. [/mm] Durch
[mm] $\mu_X(A'):=\mu(X^{-1}(A'))=\mu(\{\omega \in \Omega|X(\omega) \in A'\})=:\mu[X\inA'];$ [/mm] $A' [mm] \in \mathcal{A'}$
[/mm]
wird ein Maß (Bildmaß) [mm] $\mu_X$ [/mm] auf [mm] \mathcal{A'} [/mm] definiert.
Ist [mm] \mu [/mm] ein W-Maß auf [mm] \mathcal{A}, [/mm] dann ist [mm] $\mu_X$ [/mm] ein W-Maß auf [mm] $\mathcal{A'}$.
[/mm]
Verteilung:
Sei $X$ eine [mm] $(\Omega', \mathcal{A'})$_ZV [/mm] auf dem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$.
[/mm]
Das W-Maß [mm] $P_X$ [/mm] im Bild-Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega', \mathcal{A'}, \mathcal{P'})$ [/mm] heißt Verteilung der ZV X.
Vielen vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:10 Mo 20.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich verstehe noch nicht den genauen Unterschied der beiden
> Begriffe, vielleicht kann mir jemand mit einem kleinen
> Beispiel den Unterschied erklären.
>
> Hier die beide Definitionen:
>
> Bildmaß:
> Messräume [mm](\Omega, \mathcal{A}), (\Omega', \mathcal{A'})[/mm];
> Abbildung [mm]X:(\Omega, \mathcal{A}) \to (\Omega', \mathcal{A'})[/mm];
> Maß [mm]\mu[/mm] auf [mm]\mathcal{A}[/mm]. Durch
> [mm]\mu_X(A'):=\mu(X^{-1}(A'))=\mu(\{\omega \in \Omega|X(\omega) \in A'\})=:\mu[X\inA'];[/mm]
> [mm]A' \in \mathcal{A'}[/mm]
> wird ein Maß (Bildmaß) [mm]\mu_X[/mm] auf
> [mm]\mathcal{A'}[/mm] definiert.
> Ist [mm]\mu[/mm] ein W-Maß auf [mm]\mathcal{A},[/mm] dann ist [mm]\mu_X[/mm] ein
> W-Maß auf [mm]\mathcal{A'}[/mm].
>
> Verteilung:
> Sei [mm]X[/mm] eine [mm](\Omega', \mathcal{A'})[/mm]_ZV auf dem
> Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})[/mm].
>
> Das W-Maß [mm]P_X[/mm] im Bild-Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega', \mathcal{A'}, \mathcal{P'})[/mm]
> heißt Verteilung der ZV X.
Also nach deinen Definition ist das beides genau das gleiche.
Wenn [mm] $(\Omega', \mathcal{A'}) [/mm] = [mm] (\IR, \mathcal{B})$ [/mm] ist (reelle Zahlen mit Borelscher [mm] $\sigma$-Algebra), [/mm] drueckt man die Verteilung meistens durch die Verteilungsfunktion [mm] $F_X(x) [/mm] := P(X [mm] \le [/mm] x)$ aus; dies ist grad das Bildmass der Menge [mm] $(-\infty, [/mm] x]$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Mo 20.04.2009 | | Autor: | daria |
Gibt es den Fall das eines der beiden nicht existiert?
Bei uns im Skript wird immer diese Unterscheidung gemacht...
(also einmal für das Bildmaß und einmal für die Verteilung)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mo 20.04.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo Daria,
ich habe gelernt, dass beides dasselbe ist, mit einer kleinen Unterscheidung: Ein Bildmaß ist allgemein für messbare Abbildungen und Maße definiert, bei W'maßen und ZVen spricht man dagegen speziell von Verteilungen.
Viele Grüße
Gregor
> Gibt es den Fall das eines der beiden nicht existiert?
> Bei uns im Skript wird immer diese Unterscheidung
> gemacht...
> (also einmal für das Bildmaß und einmal für die
> Verteilung)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Mo 20.04.2009 | | Autor: | daria |
vielen vielen Dank, da bin ich ja froh, dass ich nichts übersehen habe..
|
|
|
|
