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Hallo,
ich möchte im Prinzip zeigen, dass eine Funktion zb [mm] f(x)=x^3 [/mm] jeden Wert aus [mm] $\IR$ [/mm] annimmt.
Reicht es zu zeigen, dass die Funktion stetig und nicht beschränkt ist?
Kann ich 'nicht beschränkt' zeigen, in dem ich [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} f(x)=\infty$ [/mm] und [mm] $\limes_{x\rightarrow - \infty} [/mm] f(x)= - [mm] \infty$ [/mm] zeige?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Di 20.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo PWoodstock!
> ich möchte im Prinzip zeigen, dass eine Funktion zb
> [mm]f(x)=x^3[/mm] jeden Wert aus [mm]\IR[/mm] annimmt.
Okay: Stichworte zum Beweis: Stetigkeit, Zwischenwertsatz, Grenzwertbetrachtungen
> Reicht es zu zeigen, dass die Funktion stetig und nicht
> beschränkt ist?
Nein. Die Funktion $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] ist ja auch stetig und nicht beschränkt...
> Kann ich 'nicht beschränkt' zeigen, in dem ich
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} f(x)=\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty} f(x)= - \infty[/mm] zeige?
Sagen wir es so: Die beiden letzten Aussagen führen unmittelbar zum Beweis (zusammen mit der Stetigkeit und dem Zwischenwertsatz). Das ist dann ja mehr als die Nicht-Beschränktheit.
Schaffst du es nun alleine?  Wenn nicht, dann poste wenigstens ein paar weitere Ideen und Vorschläge.
Liebe Grüße
Stefan
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Hey,
> Schaffst du es nun alleine?
Bin mir nicht sicher^^° Hier mal so, wie ich es gemacht hätte:
Genauer muss ich dass für $f(x)=sinh (x)$ zeigen.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow \infty} [/mm] sinh (x) = [mm] \limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{e^x - e^{-x}}{2}= \infty [/mm] $, da [mm] $e^x \to \infty$ [/mm] und [mm] $e^{-x}\to [/mm] 0 $
$ [mm] \limes_{x\rightarrow - \infty} [/mm] sinh (x) = [mm] \limes_{x\rightarrow - \infty} \bruch{e^x - e^{-x}}{2}= [/mm] - [mm] \infty [/mm] $, da [mm] $e^x \to [/mm] 0$ und [mm] $e^{-x}\to \infty [/mm] $
Da, [mm] $e^x$ [/mm] stetig ist, so ist auch [mm] $\bruch{1}{e^x}$ [/mm] stetig. Somit ist auch [mm] $\bruch{e^x - e^{-x}}{2}$ [/mm] stetig, also auch $sinh(x)$.
Aber wie geht es dann weiter? Muss ich jetzt mit dem Zwischenwertsatz argumentieren:
"Für jede auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall [a; b] stetige Funktion gilt:
Zu jeder Zahl c zwischen dem Minimum f(x0) und dem Maximum f(x1) gibt es wenigstens ein [mm] $\overline{x} \in [/mm] [a; b]$ mit [mm] $f(\overline{x}) [/mm] = c$"
f nimmt also jeden Wert zwischen seinem Minimum und Maximum an?!
Aber [mm] $f:\IR \to \IR; [/mm] f(x) = sinh(x)$ ist ja kein abgeschlossenes beschränktes Intervall???
Danke für eure Hilfe!
lg
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Hallo!
> Genauer muss ich dass für [mm]f(x)=sinh (x)[/mm] zeigen.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty} sinh (x) = \limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{e^x - e^{-x}}{2}= \infty [/mm],
> da [mm]e^x \to \infty[/mm] und [mm]e^{-x}\to 0[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty} sinh (x) = \limes_{x\rightarrow - \infty} \bruch{e^x - e^{-x}}{2}= - \infty [/mm],
> da [mm]e^x \to 0[/mm] und [mm]e^{-x}\to \infty[/mm]
>
>
> Da, [mm]e^x[/mm] stetig ist, so ist auch [mm]\bruch{1}{e^x}[/mm] stetig.
> Somit ist auch [mm]\bruch{e^x - e^{-x}}{2}[/mm] stetig, also auch
> [mm]sinh(x)[/mm].
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das sieht schon ziemlich gut aus!
> Aber [mm]f:\IR \to \IR; f(x) = sinh(x)[/mm] ist ja kein
> abgeschlossenes beschränktes Intervall???
In der Tat ist [mm] $\IR$ [/mm] kein beschränktes Intervall, aber es gibt eine Folge [mm] $\big(a_n\big)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $f(a_n)\to -\infty$ [/mm] und ein Folge [mm] $\big(b_n\big)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $f(b_n)\to -\infty$...
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Gruß, banachella
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Hi,
> In der Tat ist [mm]\IR[/mm] kein beschränktes Intervall, aber es
> gibt eine Folge [mm]\big(a_n\big)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]f(a_n)\to -\infty[/mm]
> und ein Folge [mm]\big(b_n\big)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]f(b_n)\to -\infty[/mm]...
>
> Hilft dir das weiter?
Naja, ich verstehe es leider nicht ganz. Also ich suche mir eine Folge [mm]\big(a_n\big)_{n\in\IN}[/mm] die dann [mm] $f(a_n)$ [/mm] gegen $- [mm] \infty$ [/mm] laufen lässt?
Wäre [mm] $\big(a_n\big)_{n\in\IN} [/mm] = -|x| $ dann die passende Folge?
Aber mir sagt dass leider nichts?!?!
Muss die Folge beschränkt sein? Kann mir bitte einer so eine Folge angeben?
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