Bildung von Stammfunktionen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Julian |
Hallo liebe Community!
Ich soll die Stammfunktion von folgender Funktion finden:
f(x) = [mm] (x+1)/(x^2*(x^2-1))
[/mm]
Ich habe die Funktion jetzt folgendermaßen vereinfacht:
f(x) = 1 / [mm] (x^2(x+1))
[/mm]
Was genau muss ich jetzt tun, um die Stammfunktion dieser Funktion zu bilden?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, vielen Dank schonmal! Achso, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schonmal!
Liebe Grüße,
Julian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Julian |
Hallo Bastiane!
Erst einmal vielen Dank und dir natürlich auch ein frohes neues Jahr!
Richtig kürzen will gelernt sein, war ein Flüchtigkeitsfehler meinerseits. Danke für die Korrektur.
Partielle Integration sagt mir was, und die "Aufleitung" von 1 / (x - 1) sollte ln(|x - 1|) sein.
Hmm, ich werde das aller Vorraussicht nach morgen nochmal mit jemandem besprechen, der mir da vielleicht auch weiterhelfen kann.
Danke trotzdem für deine Mühe, wenn selbst noch auf das Ergebnis komme, bzw. es bestätigen kann, werde ich hier posten, falls ich weitere Fragen habe, ebenfalls.
Eine Frage habe ich aber nochmal an dich: mit welchem Programm hast du das berechnen lassen?
Vielen Dank und weiterhin einen schönen Samstag Abend!
Liebe Grüße,
Julian
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Hallo,
zur Partialbruchzerlegung:
Zerlege die zu integrierende Funktion wie folgt:
[mm]\frac{1}{{x^2 \;\left( {x\; - \;1} \right)}}\; = \;\frac{A}{x}\; + \;\frac{B}{{x^2 }}\; + \;\frac{C}{{x - 1}}[/mm]
Hieraus lassen sich die Koeffizienten A,B und C bestimmen.
Und das Integral läßt sich wie folgt schreiben:
[mm]\int {\frac{1}{{x^2 \;\left( {x\; - \;1} \right)}}\;dx\; = \;\int {\;\frac{A}{x}\; + \;\frac{B}{{x^2 }}\; + \;\frac{C}{{x - 1}}\;dx} }
[/mm]
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Sa 01.01.2005 | | Autor: | moudi |
Ja Partialbruchzerlegung ist der "richtige Ansatz".
[mm]\frac{1}{x^2(x-1)}=\bruch{A}{x^2}+\bruch{B}{x}+\bruch{C}{x-1} [/mm]
Dann gleichnamig machen
[mm]=\bruch{A(x-1)+Bx(x-1)+Cx^2}{x^2(x-1)}= \bruch{(B+C)x^2+(A-B)x-A}{x^2(x-1)}[/mm]
Daraus folgt B+C=0, A-B=0 und -A=1 mit der Lösung A=-1, B=-1 und C=1
[mm] \frac{1}{x^2(x-1)}= \bruch{-1}{x^2}+\bruch{-1}{x}+\bruch{1}{x-1}[/mm]
Und jetyt kann man problemlos integrieren und erhält die erwähnte Lösung.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Juliane,
Bastiane hat es richtig angedeutet. Die Lösung dieses Integrals läuft über Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{1}{x^2*(x-1)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{A*x + B}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x-1}$ $(\star)$
[/mm]
$= [mm] \bruch{(A*x + B)*(x-1)}{x^2*(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{C*x^2}{x^2*(x+1)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{A*x^2 - A*x + B*x - B + C*x^2}{x^2*(x-1)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{x^2*(A+C) + x*(-A+B) - B}{x^2*(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{0*x^2 + 0*x + 1}{x^2*(x-1)}$
[/mm]
[mm] $(\star)$ [/mm] Alternativ kanst Du auch zerlegen in:
[mm] $\bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x-1}$
[/mm]
Aber Du musst dann wieder auf den Hauptnenner [mm] $x^2*(x-1)$ [/mm] zusammenfassen ...
Nun Koeffizientenvergleich:
-B = 1 [mm] $\gdw$ [/mm] B = -1
-A+B = 0 [mm] $\gdw$ [/mm] A = B = -1
A+C = 0 [mm] $\gdw$ [/mm] C = -A = 1
[mm] $\bruch{1}{x^2*(x-1)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{-x - 1}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x-1}$
[/mm]
$= [mm] -\bruch{x}{x^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x-1}$
[/mm]
$= [mm] -\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] x^{-2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x-1}$
[/mm]
Von diesem Ausdruck sollte die Integration nun gelingen, oder ?!
(siehe auch Lösungsvorschlag für die Stammfunktion von Bastiane)
Grüße
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Julian |
Vielen Dank für die Antwort! Von da an sollte das alles klappen, ich werde das morgen wohl machen und dann nochmal antworten.
Die Art deiner Partialbruchzerlegung kenne ich nicht :-/ Ich hätte deinen alternativen Weg eingeschlagen.
Wann muss ich denn da wieder auf den Hauptnenner erweitern? Wenn ich meine Funktion in deine beschriebene Alternativform gebracht habe, warum kann ich sie denn dann nicht integrieren? Denn das sollte dann ja kein Problem mehr sein.
Danke für deine Mühe!
Liebe Grüße,
Julian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Loddar |
> Vielen Dank für die Antwort! Von da an sollte das alles
> klappen, ich werde das morgen wohl machen und dann nochmal
> antworten.
>
> Die Art deiner Partialbruchzerlegung kenne ich nicht :-/
> Ich hätte deinen alternativen Weg eingeschlagen.
Es klappt ja beides. Kannste Dir also aussuchen ...
> Wann muss ich denn da wieder auf den Hauptnenner erweitern?
Erweitern auf Hauptnenner musst Du doch, um die (bisher unbekannten) Parameter A, B und C bestimmen zu können.
> Wenn ich meine Funktion in deine beschriebene
> Alternativform gebracht habe, warum kann ich sie denn dann
> nicht integrieren? Denn das sollte dann ja kein Problem
> mehr sein.
Völlig richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !! Deshalb machen wir diese Umformung ja.
Aber wie gesagt - erst müssen wir ja A, B und C ermitteln ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Julian |
Okay, das wollte ich nur wissen.
Gut, dass ich zum Ermitteln von A,B und C auf den Hauptnenner erweitern muss, habe ich mir dann doch noch gedacht.
Also dann, ich werde die Aufgabe wohl morgen oder Übermorgen lösen.
Ich danke allen Beteiligten für Ihre Hilfe und werde mich nun ins Bett zurückziehen.
Wünsche euch noch einen schönen Abend!
Liebe Grüße,
Julian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 So 02.01.2005 | | Autor: | Julian |
So, ich habe eben alles nochmal nachgerechnet, und bin auch auf das angegebene Ergebnis gekommen. Vielen Dank nochmal an alle für eure Hilfe!
Liebe Grüße,
Julian
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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