Bildungsgesetz finden < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | Von welchem Typ sind die Zahlenfolgen und wie lauten ihre Bildungsgesetze:
a.) 2,5,8,11,14,....
b.) 1,7,17,31,49,71,..... |
Hallo,
also bei den Aufgaben wie a.) fällt es mir leicht, da man die Folge monoton wächst. Es ist eine arithmetische Folge.
Und das Bildungsgesetz sich da mit der Formel:
[mm] a_n = Differenz * n + a_0 [/mm]
Hier also: 3n+2
leicht bilden lässt.
Nun bei b.) habe ich mir die Zähne ausgebissen und finde das Bildungsgesetz einfach nicht.
Bisher beste Lösung (da stimmen immerhin die ersten drei Glieder):
[mm] x^3+6x+1-x^2
[/mm]
Gibt es für diese Art von Folgen eine funktionierende Herangehensweise ?
Ich habe da wild rumprobiert und das dauert je nach Zufall lange oder geht auch mal schnell....
Was ist das für eine Folge ?
Danke für Hilfe
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Sa 26.01.2008 | | Autor: | koepper |
> Von welchem Typ sind die Zahlenfolgen und wie lauten ihre
> Bildungsgesetze:
>
> a.) 2,5,8,11,14,....
> b.) 1,7,17,31,49,71,.....
Hallo,
> Und das Bildungsgesetz sich da mit der Formel:
> [mm]a_n = Differenz * n + a_0[/mm]
> Hier also: 3n+2
wenn der erste Folgenindex Null ist, dann OK.
> Nun bei b.) habe ich mir die Zähne ausgebissen und finde
> das Bildungsgesetz einfach nicht.
Betrachte die Folge der Differenzen. Dann fällt dir etwas auf.
> Bisher beste Lösung (da stimmen immerhin die ersten drei
> Glieder):
> [mm]x^3+6x+1-x^2[/mm]
Es geht mit einem quadratischen Ansatz: [mm] $f_n [/mm] = [mm] an^2 [/mm] + bn + c$
Stelle mit den ersten 3 Werten das LGS auf, damit bekommst du a,b,c.
> Gibt es für diese Art von Folgen eine funktionierende
> Herangehensweise ?
Nein, so etwas kann es nicht geben, und zwar aus folgendem Grund:
Egal, wie viele Folgenglieder du gegeben hast, du kannst im Notfall mit der obigen Methode aus n Folgengliedern immer eine Termdarstellung der Folge angeben, die aus einem Polynom (höchstens) n-1 ten Grades besteht. Ob das in der Absicht des Aufgabenstellers lag, ist eine ganz andere Sache. Sehr oft gibt es dann noch z.T. sogar mehrere andere einfachere Terme, die auf den ersten n Gliedern die selbe Folge liefern. Als Lösung gibt man dann idR die an, die am "einfachsten" aussieht.
Ein bewährtes Mittel zur Analyse besteht darin, zunächst eine Differenzenfolge zu bilden, und davon wieder die Differenzenfolge, usw...
Danach probiert man es vielleicht auch mal mit einem exponentiellen Ansatz.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo koepper,
danke für Deine Antwort.
> wenn der erste Folgenindex Null ist, dann OK.
Da bin ich unsicher, ob man nun bei 0 oder 1 anfängt... Was ist hier üblich ?
> Betrachte die Folge der Differenzen. Dann fällt dir etwas
> auf.
Joa das hat mir nicht wirklich geholfen, hatte ich schon versucht.
> Es geht mit einem quadratischen Ansatz: [mm]f_n = an^2 + bn + c[/mm]
>
> Stelle mit den ersten 3 Werten das LGS auf, damit bekommst
> du a,b,c.
Ah !
Das ist doch ein Ansatz mit dem ich leben kann.
Da hab ich wenn man nun von 0 ausgeht:
n=0; I 0 + 0 + c = 1
n=1; II a + b + c = 7 |-I
n=2;III 4a+2b + c = 17 |-I
II. a + b = 6
III. 4a+2b = 16 |-2 II
III. 2a = 4 ; a=2
b=4
c=1
Damit wäre das Bildungsgesetz gefunden:
[mm] 2n^2 + 4n + 1 [/mm]
Also ist das hier eine Potenzfolge.
>
> > Gibt es für diese Art von Folgen eine funktionierende
> > Herangehensweise ?
>
> Nein, so etwas kann es nicht geben, und zwar aus folgendem
> Grund:
> Egal, wie viele Folgenglieder du gegeben hast, du kannst
> im Notfall mit der obigen Methode aus n Folgengliedern
> immer eine Termdarstellung der Folge angeben, die aus einem
> Polynom (höchstens) n-1 ten Grades besteht. Ob das in der
> Absicht des Aufgabenstellers lag, ist eine ganz andere
> Sache. Sehr oft gibt es dann noch z.T. sogar mehrere andere
> einfachere Terme, die auf den ersten n Gliedern die selbe
> Folge liefern. Als Lösung gibt man dann idR die an, die am
> "einfachsten" aussieht.
>
> Ein bewährtes Mittel zur Analyse besteht darin, zunächst
> eine Differenzenfolge zu bilden, und davon wieder die
> Differenzenfolge, usw...
Ok,
wenn ich das hier mache:
1. 6,10,14,18,22
2. 4,4,4,4
Wie komme ich damit denn zur ursprünglichen Folge ?
> LG
> Will
Danke.
Grüße,
Lars
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Sa 26.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Da bin ich unsicher, ob man nun bei 0 oder 1 anfängt...
> Was ist hier üblich ?
die Frage ist genau so gut, wie die, ob die natürlichen Zahlen jetzt bei Null oder bei Eins beginnen.
Jeder macht das mehr oder weniger nach Laune. Kürzlich hörte ich, daß verschiedene Professoren derselben Fakultät das sogar unterschiedlich handhaben. Also, um mit Murphy zu sprechen:
"Der einzige stabile Zustand ist das Chaos" [lachtot]
> Ok,
>
> wenn ich das hier mache:
> 1. 6,10,14,18,22
> 2. 4,4,4,4
>
> Wie komme ich damit denn zur ursprünglichen Folge ?
am einfachsten über das LGS. Andere Methoden sind nicht einfacher.
Die wiederholte Bildung von Differenzenfolgen hilft dir, den Grad des Ansatzes zu finden.
LG
Will
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