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Hallo!
Ich habe eine Verständnisfrage. In meinem Hefter steht:
[mm]<.,.>:V \times V \to \IK[/mm] sei symmetrische Bilinearform, [mm]q(v) = [/mm] die zugehörige quadratische Form.
Die Bilinearform ist dann durch q eindeutig bestimmt (falls 1 + 1 [mm] \not= [/mm] 0 in [mm] \IK), [/mm] denn es folgt:
<u,v>
= [mm] 2^{-1}*(q(u+v) [/mm] - q(u) - q(v))
= [mm] 4^{-1}*(q(u+v) [/mm] - q(u-v))
Meine Frage ist nun: Kann mir bitte jemand erklären, weshalb das stimmt? Also wieso die Bilinearform durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt ist. Ich kann mir darunter überhaupt nichts vorstellen, und weiß ehrlich gesagt auch nicht was eindeutig bestimmt hier genau bedeutet.
Vielen Dank für Eure Mühe
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Mo 23.06.2008 | | Autor: | pyrrhus |
Also, dass
[mm] \langle u,v \rangle = \frac{1}{2} \cdot ( q(u+v) - q(u) - q(u) ) \quad (\*) [/mm]
kannst du einfach nachrechen wenn du für [mm] q(u) = \langle u, u \rangle [/mm] einsetzt und die Bilinearität und Symmetrie der Bilinearform ausnutzt (z.B. [mm] q(u+v) = \langle u, u \rangle + \langle v, v \rangle +2 \langle u, v \rangle [/mm].
Und eindeutig bestimmt heißt einfach, dass du wenn du die quadratische Form hast nach (*) schon genau weisst wie die bilinearform aussehen muss und dass deshalb auch offenbar keine verschiedenen symmetrischen Bilinearformen dieselben quadratischen Formen haben können.
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Vielen Dank für deine Antwort. Aufgrund dieser sind mir nun folgende Implikationen klar (die beiden senkrechten Striche stehen für Gleichheit)
Bilinearform1 <---beschreibt--- Quadratische Form1
|| <---- ||
Bilinearform2 <---beschreibt--- Quadratische Form2
Nun noch eine Frage: Muss der Folge-Pfeil in der Mitte wegen der Eindeutig nach rechts auch folgen (Oder wäre das Eineindeutigkeit)? Und wenn ja, warum folgt das?
Bei obiger Aufgabe habe ich ein weiteres Problem. Ich habe ja zwei beliebige symmetrische Bilinearformen gegeben. Dass in dem Körper 1 + 1 [mm] \not= [/mm] 0 gilt, macht mich gleich hellhörig: Vermutlich muss ich bei dem Beweis wieder irgendwas mit quadratischen Formen und deren Eindeutigkeit machen. Konkret weiß ich jetzt aber ehrlich gesagt nicht was ich tun soll. Ich hätte folgende Ideen:
Man könnte [mm] q_{1}(v) [/mm] := <v,v> und [mm] q_{2}(v) [/mm] := |[v,v]| definieren (die existieren ja) und dann zeigen, dass die gleich sind... aber irgendwie wäre das zu einfach... Weil dann würde ich schreiben: [mm] q_{1}(v) [/mm] = <v,v> = |[v,v]| = [mm] q_{2}(v) [/mm] wegen Voraussetzung. Dann wäre aber auch <u,v> = [mm] 2^{-1}(...) [/mm] = |[u,v]|, da sie die gleiche quadratische Form besitzen.
Das ist aber irgendwie komisch. Kann mir bitte noch jemand helfen?
Vielen Dank für Eure Mühe
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Di 24.06.2008 | | Autor: | pyrrhus |
Hier kannst du einfach nachrechnen wie du schon richtig erkannt hast:
[mm]
[u+v,u+v] = \langle u+v, u+v \rangle \Leftrightarrow
(1 + 1) * [u,v] + [v,v] + [u,u] = (1 + 1) * + +
\Leftrightarrow (1 + 1) * [u,v] = (1 + 1) *
[/mm]
Weil jetzt (1+1) in dem Körper, den wir betrachten [mm] \ne 0 [/mm] folgt
durch Division [mm] [u,v] = \langle u, v \rangle [/mm].
Da du nämlich beliebige Körper betrachtest musst du jetzt tatsächlich vorraussetzten, dass [mm]1+1 \ne 0 [/mm]. Das klingt jetzt alles komisch ist aber eigentlich ziemlich simpel.
PS: Da du in einem belieben Körper bist, musst du natürlich auch bei sowas wie Betrag ( [mm] q_1(v) := | [v,v]| [/mm] ) aufpassen (bzw. vermeiden). Das ist ja hier nicht unbedingt definiert.
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Vielen Dank! Ich habe alles verstanden!
Nun nur nochmal kurz zu den quadratischen Formen: Ich habe das nun so verstanden, dass wenn ich zwei gleiche quadratische Formen habe, diese unmittelbar zwei gleiche symmetrische Abbildungen beschreiben. Das ist mir klar, da die Bildungsvorschrift <u,v> = [mm] 2^{-1}*(...) [/mm] auch keine andere Wahl lässt. Nun frage ich mich aber, ob dieses im ersten Artikel von mir angesprochene "eindeutig" auch so gilt, dass zwei gleiche symmetrische Bilinearformen unmittelbar dieselbe quadratische Form haben? Da bin ich mir nämlich nicht so sicher, weil ja (vielleicht) auch zwei Bilinearformen immer das gleiche <v,v> bilden...
Bilinearform1 <---beschreibt--- Quadratische Form1
|| --???--> ||
Bilinearform2 <---beschreibt--- Quadratische Form2
Kannst du mir noch ein letztes Mal helfen?
Vielen Dank für deine (auch bisher erbrachte) Mühe,
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Fr 27.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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