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| Aufgabe | [mm] f:\IR[/mm] [t][mm] x\IR[/mm] [t] [mm] \to \IR [/mm] bilinear und [mm] f(t^{p},t^{q})=1 [/mm] für alle p,q
Berechne [mm] f((1-t)^{1291},(1+t)^{2007}) [/mm] |
Guten Abend!
Hab ehier wieder eine Aufgabe, die mich grübeln lässt..
Nun wir haben die Bilinearität eben erst eingeführt, deswegen bin ich mir da noch nicht so sicher.. Nun der Tipp war: man soll die Funktion umschreiben. So wie ich es sehe, muss man einfachs chauen, dass man alle Konstanten rausnimmt und dann nur noch t in der Funktion hat, und dies dann gleich 1 setzen kann, nicht? Ich habe mir schon überlegt, dass dies dann wohl einfach alle Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{1291 \\ 0} [/mm] bis [mm] \vektor{1291 \\ 1291} [/mm] sein müsste, nicht? Aber da gibt es sicherlich einen einfacheren Weg..
Nur leider komme ich einfach nicht weiter! Wäre sehr froh um Tipps..
Vielen lieben Dank Grenzwert
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Hiho,
da gibts ein paar mehr Binomialkoeffizienten und da fällt auch einiges wieder raus.
Dein Ansatz ist schon richtig, mach mal soweit wie du kommst, ich helf dir dann.
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Do 07.06.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Da ich jetzt leider los muss und auch am WE nicht da bin, noch ein paar hinweise:
[mm](a+b)^n = \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n-k}b^k[/mm]
[mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} = 2^n[/mm]
Gruß,
Gono.
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Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort!!
Nun, mit den Binomoialkoeffizienten, bin ich nun etwas am Anschlag.. Sehe da nicht viel rausfallen..
Also ich habe ja sicherlich noch alle Binomialkoeffizienten von [mm] (1+t)^{2007}. [/mm] Kann ich die dann irgendwie zusammenfassen? Im Zähler gibt es ja sonst eine Riesenzahl, nicht?
Vielen lieben Dank, Grenzwert
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Hiho,
trivialerweise kommt da Null raus, ich zeigs mal allgemein 
[mm]f((1-t)^n,(1+t)^m) = f(\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}(-t)^k,\summe_{j=0}^{m}\vektor{m\\j}t^j)[/mm](binomischer Lehrsatz)
[mm]= f(\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}(-1)^kt^k,\summe_{j=0}^{m}\vektor{m\\j}t^j)[/mm] (nur ne kleine Umforumung)
[mm]= \summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n\\k}f(t^k,\summe_{j=0}^{m}\vektor{m\\j}t^j) [/mm] (f linear im ersten Glied)
[mm]= (\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n\\k})(\summe_{j=0}^{m}\vektor{m\\j} f(t^k,t^j)) [/mm] (f linear im zweiten Glied)
[mm]= (\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n\\k})(\summe_{j=0}^{m}\vektor{m\\j})[/mm] (da f jetzt 1)
Nun gelten zwei schicke Sätze (wobei du letzteren nicht bräuchtest, aber gut zu wissen )
[mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n\\k} = 0[/mm] (gilt immer)
[mm]\summe_{j=0}^{m}\vektor{m\\j} = 2^m[/mm] (gilt auch immer)
Somit gilt:
[mm]= 0 * 2^m = 0[/mm]
MfG,
Gono.
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