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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:13 So 09.07.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Durch [mm] \beta(A,B) [/mm] := Spur ( [mm] A^t [/mm] o [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 } [/mm] o B ) wird der Vektorraum [mm] M_2(R) [/mm] mit einer Bilinearform [mm] \beta [/mm] versehen.
1.) Man zeige, dass [mm] (M_2(R),\beta)
[/mm]
a) regulär ist
b) sich als orthogonale direkte summe zweier hyperbolischer Ebenen schreiben lässt.
2.) Man gebe explizit eine Orthogonalbasis von [mm] (M_2(R),\beta) [/mm] an, und
bestimme die Signatur von [mm] (M_2,\beta)!
[/mm]
Hinweis: Inwiefern die Teilaufgaben etwas miteinander zu tun haben, sollen Sie selbst entscheiden! |
Guten Nachmittag!
Würde mich sehr freuen, wenn ihr mir bei dieser alten Klausuraufgabe helfen könntet, da ich keine lösungen dazu hab!
so weit bin ich:
1.) a) hier muss man zeigen, dass die [mm] det(B^{\beta}) \not= [/mm] 0 ist. d.h. ich muss wohl die sturkturmatrix bzgl der einheitsbasos aufstellen:
[mm] B^{\beta}(e_1,...,e_4) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 }
[/mm]
die matrix muss ja symm sein, d.h. es langt die obere hälfte zu betsimmen? gibt es da ein schnelleres verfahren außer jedes päärle einzusetzen und auszurechnen??
für die det. hab ich 9 rausbekommen, also regulär. stimmt das soweit??
b) eine hyperbol. ebene ist doch bzgl einer basis:
[mm] B^{\beta|UXU} (a_1,a_2) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }. [/mm] aber wie kann ich [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] bestimmen? bei mir fallen sie leider nicht vom himmel ;(
und zu 2.) kann ich das mit Gram-schmidt lösen oder wäre der ansatz falsch??
und wie soll ich den hinweis verstehen? kann man da aus einer teilaufgabe schon was folgern, was ich übersehen hab??
viele grüße
riley
edit: aufgabe auch hier gestellt: http://www.matheboard.de/index.php
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 16.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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