Bilinearform < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Und schon wieder ich;)
Auch hier habe ich noch 2 Fragen:
1) kann man ein ON-System in einem endlich dimensionalen Vektorraum zu einer ON_BAsis ergänzen?
Ja kann man. Jedes ON-System von n Vektoren bildet ON_Basis im n-deminsionalen Vektorraum und jedes ON_System ist lineare unabhängig-.damit müsste ich also (ich denke mal nach Basisergänzungssatz) Vektoren aus dem Vektorraum V wählen können, (geeignete Vektoren die zu den anderen Orthogonal sind und zu 1 normiert sind) die dann zusammen mit den anderen eben eine ON_BAsis bilden.
Oder??
<,> ist eine Bilinearform.
Was sag ich denn dann zu <u,w> =1. Müsste man dann hier sagen, die Bilinearform von u und w ist 1 oder die Bilinearform auf u,w angewendet ergibt 1?
Skalarprodukt von u und w trifft ja zum Besipiel nur dann zu, wenn diese Bilinearform symmetrisch wäre.
Ich hoffe, dass mir auch hier jemand helfen kann.
Lg Sandra
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> 1) kann man ein ON-System in einem endlich dimensionalen
> Vektorraum zu einer ON_BAsis ergänzen?
Hallo,
ich würde das so begründen:
Ein Orthonormalsystem ist linear unabhängig. Man kann es durch geeignete Vektoren einer Basis B des zugrunde liegenden Vektorraumes V zu einer Basis von B ergänzen.
Orthonormalisierung nach Gram-Schmidt liefert eine ONB.
Bei den Bilinearformen halte ich mich lieber raus.
Gruß v. Angela
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Hi Sandra,
das Ding [mm] \langle u,w\rangle=1 [/mm] ist doch nie und nimmer ne BLF ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gilt denn da die Linearität im ersten Argument?
Berechne mal [mm] \langle u+u',w\rangle [/mm] und [mm] \langle u,w\rangle+\langle u',w\rangle
[/mm]
Ne BLF ist in erster Linie eine [mm] \undeline{Abbildung} $\langle ,\rangle:V\times W\to\IK$ [/mm] mit gewissen Eigenschaften (Bilinearität)
Wobei hier $V,W [mm] \quad \IK-VRe$ [/mm] sein sollen
Sieh auch nochmal in deinem Skript nach..
Gruß
schachuzipus
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> das Ding [mm]\langle u,w\rangle=1[/mm] ist doch nie und nimmer ne
> BLF
Oh.
Ich hatte das ganz anders verstanden!
ich dachte, daß man sagen soll, was man über zwei Vektoren u,w sagen kann, wenn <u,v>=1 ist.
Hm.
Gruß v. Angela
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Also nehmen wir mal folgendes aus unserem Script:
Sei <,> eine symmetrische Bilinearform auf dem K-Vektorraum V . Eine
Basis [mm] v_1,..., v_n [/mm] von V heißt Orthogonalbasis bzgl. <,>,
falls
[mm] [/mm] = 0 für alle i [mm] \not= [/mm] j
Gilt zusätzlich
[mm] [/mm] = 1 für i = 1,..,n
so heißt die Basis Orthonormalbasis.
Ich meine zum Beispiel so etwas: Was sagt man dann zu <vi, vj> = 0
und es ist doch so, zumindest stehts im Script: Skalarprodukt ist eine positiv symmetrische Bilinearform
Hilfe ich verzweifel;)
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Hi Sandra,
> Also nehmen wir mal folgendes aus unserem Script:
>
> Sei <,> eine symmetrische Bilinearform auf dem K-Vektorraum
> V . Eine
> Basis [mm]v_1,..., v_n[/mm] von V heißt Orthogonalbasis bzgl. <,>,
> falls
> [mm][/mm] = 0 für alle i [mm]\not=[/mm] j ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
das heißt also, dass die Darstellungsmatrix (Gramsche Matrix) der BLF eine DIAGONALmatrix ist
> Gilt zusätzlich
> [mm][/mm] = 1 für i = 1,..,n
> so heißt die Basis Orthonormalbasis.
auch genau richtig, die Grammatrix ist in diesem Falle die Einheitsmatrix
>
> Ich meine zum Beispiel so etwas: Was sagt man dann zu <vi,
> vj> = 0
du meinst, wie man es verbalisiert?
Hm ich würde es so sagen: [mm] "v_i [/mm] und [mm] v_j [/mm] sind orthogonal bzgl. [mm] \langle ,\rangle"
[/mm]
> und es ist doch so, zumindest stehts im Script:
> Skalarprodukt ist eine positiv [mm] \red{definite} [/mm] symmetrische Bilinearform
jo, das ist so 
LG
schachuzipus
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