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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 So 17.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zu Basiswechseln bei Bilinearformen.
Also bei linearen Abbildungen war es ja so, dass für zwei Darstellungsmatrizen A und A' zu einer linearen Abbildung galt, dass man eine invertierbare Matrix M finden kann, so dass man A' aus A berechnen konnte:
[mm] A'=M^{-1}*A*M
[/mm]
Und aus dieser Formel konnte man ja dann direkt sehen, dass A und A' zueinander ähnlich sind.
Bei Bilinearformen habe ich nun folgendes Satz:
A Matrix einer Bilinearform bzgl. einer Basis. Die Matrizen A', die dieselbe Bilinearform bzgl. anderer Basen beschreiben, sind diejenigen von der Form [mm] A'=Q*A*Q^T [/mm] für eine Matrix Q in [mm] $GL_n(K)$. [/mm]
Irgendwie versteh ich nicht, warum man hier nicht auch eine Formel mit einer Inversen hat, sondern einer Transponierten.
Heißt das nun, dass die sämlichen darstellenden Matrizen einer Bilinearform nicht mehr ännlich zueinander sind?
Und warum muss Q aus den invertierbaren Matrizen stammen, wenn ich nur die Transponierte brauche?
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG, Nadine
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> Hallo zusammen!
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> Ich habe eine Frage zu Basiswechseln bei Bilinearformen.
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> Also bei linearen Abbildungen war es ja so, dass für zwei
> Darstellungsmatrizen A und A' zu einer linearen Abbildung
> galt, dass man eine invertierbare Matrix M finden kann, so
> dass man A' aus A berechnen konnte:
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> [mm]A'=M^{-1}*A*M[/mm]
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> Und aus dieser Formel konnte man ja dann direkt sehen, dass
> A und A' zueinander ähnlich sind.
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> Bei Bilinearformen habe ich nun folgendes Satz:
>
> A Matrix einer Bilinearform bzgl. einer Basis. Die Matrizen
> A', die dieselbe Bilinearform bzgl. anderer Basen
> beschreiben, sind diejenigen von der Form [mm]A'=Q*A*Q^T[/mm] für
> eine Matrix Q in [mm]GL_n(K)[/mm].
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> Irgendwie versteh ich nicht, warum man hier nicht auch eine
> Formel mit einer Inversen hat, sondern einer
> Transponierten.
> Heißt das nun, dass die sämlichen darstellenden Matrizen
> einer Bilinearform nicht mehr ännlich zueinander sind?
> Und warum muss Q aus den invertierbaren Matrizen stammen,
> wenn ich nur die Transponierte brauche?
Hallo,
diese Frage war nun ziemlich lange offen.
Ich will mich nun doch an einer Antwort versuchen, und ich hoffe, daß ich Deine Frage wenigstens ansatzweise treffe.
Du scheinst gerade von einer Bilinearform [mm] b:VxV\to \IR [/mm] zu reden.
Sei B eine Basis von V, A die darstellende Matrix von b bzgl dieser Basis.
Dann bekommt man b(v,w) so: [mm] b(v,w)=x_B^{T}Ay_B, [/mm] wobei [mm] x_B,y_B [/mm] die Koordinatenvektoren von v und w bzgl der Basis B sind.
Nun vollziehen wir einen Basiswechsel. Es sei M die Transformationsmatrix für den Wechsel von der neuen Basis C zur alten Basis B.
Da M eine Basiswechselmatrix ist, ist sie selbstverständlich invertierbar.
Wenn nun [mm] x_C [/mm] nun der Koordinatenvektor von v bzgl C ist, ist [mm] Mx_C [/mm] der Koordinatenvektor von v bzgl B, also [mm] Mx_C=x_B. [/mm] Für y entsprechend,
Und Du kannst Dir überlegen, daß [mm] b(v,w)=x_B^{T}Ay_B=(Mx_C)^{T}A(My_C)= x_C^{T}(M^{T}AM)y_C.
[/mm]
Gruß v. Angela
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