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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Ich komm bei folgender Aufgabe einfach auf die Lösung.
V sein ein Vektorraum über K, wobei char K [mm] \not=2.
[/mm]
Nun soll ich zeigen, dass jede Bilinearform auf V sich eindeutig als Summe einer symmetrischen und einer alternierenden Form schreiben lässt.
also ja sozusagen b(v,w)=c(v,w)+d(v,w) wobei c symmetrisch , d alternierend, oder kann man das so nicht sagen?
Mein Problem: ich weiß nicht wie ich da ansetzen soll.
b bilinear bedeutet ja, dass
b( [mm] \lambda [/mm] v+ [mm] \mu [/mm] v´,w)= [mm] \lambda [/mm] b(v,w)+ [mm] \mu [/mm] b( v´,w) (und dasselbe auch für w und w´
Weiter weiß ich: c symmetrisch heißt b(v,w)=b(w,v)
und d alternierend: b(v,w)= -b(v,w)
Aber damit komm ich einfach nicht weiter.
Wäre dankbar für eine Hilfe.
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Annette!
> Ich komm bei folgender Aufgabe einfach auf die Lösung.
> V sein ein Vektorraum über K, wobei char K [mm]\not=2.[/mm]
> Nun soll ich zeigen, dass jede Bilinearform auf V sich
> eindeutig als Summe einer symmetrischen und einer
> alternierenden Form schreiben lässt.
> also ja sozusagen b(v,w)=c(v,w)+d(v,w) wobei c symmetrisch
> , d alternierend, oder kann man das so nicht sagen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mein Problem: ich weiß nicht wie ich da ansetzen soll.
> b bilinear bedeutet ja, dass
> b( [mm]\lambda[/mm] v+ [mm]\mu[/mm] v´,w)= [mm]\lambda[/mm] b(v,w)+ [mm]\mu[/mm] b( v´,w) (und
> dasselbe auch für w und w´
> Weiter weiß ich: c symmetrisch heißt b(v,w)=b(w,v)
> und d alternierend: b(v,w)= -b(v,w)
Versuche es mal mit
$c(v,w) = [mm] \frac{1}{2}\, [/mm] (b(v,w) + b(w,v))$
und
$d(v,w) = [mm] \frac{1}{2}\, [/mm] (b(v,w) - b(w,v))$.
Zu zeigen bleibt die Eindeutigkeit. Nehme also an:
$c(v,w) + d(v,w) = c'(v,w) + d'(v,w)$,
wobei $c$ und $c'$ symmetrisch sowie $d$ und $d'$ alternierend sind.
Jetzt musst du $c=c'$ und $d=d'$ zeigen.
Hast du eine Idee? Man könnte ja mal (nur so eine spontane Idee von mir ) $v=w$ einsetzen und schauen, was passiert.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Nette |
Hi Stefan!
Viiieeelen Dank.
Das ist ja eigentlich ziemlich einfach...Aber man muss halt drauf kommen.
Viele Grüße
Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 So 08.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Jetzt musst du [mm]c=c'[/mm] und [mm]d=d'[/mm] zeigen.
Mir kommt da eine Idee: bilden die Bilinearformen nicht einen Vektorraum? Dann reicht doch für die Eindeutigkeit [mm]W=W_\mbox{sym}\oplus W_\mbox{anti-sym}[/mm] zu zeigen. Das "+" haben wir schon, jetzt muss blos noch der Schnitt nur die 0 sein: also sei s sym. Bilinerform a antisymetrische dann folgt, für [mm]a=s:\forall v,w\in V: s(v,w)=a(v,w)=-a(w,v)=-s(w.v)=-s(v,w)[/mm], also [mm]s=0[/mm].
Scheint zu stimmen, mach ich also mal als Mitteilung. Hmm, eigtl. keine Frage mehr - wie kann ich das zu einer Mittteilung machen?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 So 08.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo SEcki!
Stimmt, so geht es noch schneller (naja, jedenfalls eleganter).  Ich hatte auch zuerst diese Idee und frage mich gerade, was mich davon abgehalten hat sie auszuführen. (?)
Viele Grüße
Stefan
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