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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Di 14.06.2005 | | Autor: | quentin |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
wünsch einen guten abend allen, die grad anwesend sind! bräuchte mal euern rat zu folgender aufgabe:
Die Bilinearform [mm] \beta [/mm] auf dem [mm] \IR^{3} [/mm] habe die folgende Matrix B bzgl. der Standardbasis:
B = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 }
[/mm]
(a) Bestimmen Sie eine Basis vom [mm] \IR^{3}, [/mm] bzgl. der die Matrix von [mm] \beta [/mm] Diagonalgestalt hat.
(b) Berechnen Sie Rang und Signatur von [mm] \beta.
[/mm]
(c) Ist [mm] \beta [/mm] positiv definit?
Danke, an denjenigen der mir helfen kann. tschüssi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Mi 15.06.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hallo,
du musst folgendes zu a) machen:
1. Schritt:
Eigenwerte berechnen und Eigenvektoren bestimmen.
2. Schritt:
Diese Eigenvektoren (in eigenen Eigenräumen) mit Gram-Schmidt-Verfahren orthonomieren.
D.h. bekommst du z.B. als Eigenwert [mm] (\lambda-1)²*(\lambda+2) [/mm] raus....ist halt nur ein Beispiel......dann müsstest du die beiden Eigenvektoren zu [mm] (\lambda-1)² [/mm] "miteinander" orthonomieren. [mm] (\lambda+2) [/mm] hingegen nur mit "sich selber" orthormieren.
(Diese orthonomierten Vektoren bilden die ON-Basis).
Diese Basen auf Orthogonalität überprüfen, also auf <b1, b2>=0 überprüfen. ALLE GEGENSEITIG ÜBERPRÜFEN !
3. Schritt:
Aus diesen Basen eine orthogonle Matrix :=U bilden und folgendes ausrechnen:
U-1*B*U =(Da Matrix euklidisch und symmetrisch folgt:) UT*B*U = D (Diagonalgestalt).
Zu c)
Eine positiv definite Matrix A hat ausschließlich positive Diagonalelemente und Eigenwerte. Insbesondere ist A invertierbar und die Inverse ist ebenfalls positiv definit.
Guckst du hier: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Im Allgemeinen ist $sign(B)=(p,q)$, wobei $p$ die Anzahl der positiven und $q$ die Anzahl der negativen Eigenwerte von $B$ ist.
Natürlich ist $Rang(B)$ dies maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten von $B$. Es gilt offenbar:
$Rang(B)=p+q$.
Versuche das alles mal zu berechnen und melde dich wieder mit Ergebnissen.
Viele Grüße
Julius
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