Bilinearform, Untervektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Es sei V ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform [mm] \gamma [/mm] : V x V -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] \gamma(v,v)>=0 [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V.
a) Zeigen Sie: U = { [mm] v\in [/mm] V| [mm] \gamma(v,v) [/mm] = 0 } ist ein Untervektorraum von V.
b) Zeigen Sie: [mm] \gamma [/mm] induziert eine wohldefinierte positiv-definite Bilinearform [mm] \gamma^-([v],[w]) [/mm] := [mm] \gamma(v,w) [/mm] auf V/U. |
Hey, ich hab versucht die Aufgabe a) zu machen.
Ich muss zeigen:
1) U ist nicht-leer
2) [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] U : (v+w) [mm] \in [/mm] U
3) [mm] \forall \lambda \in \IR, \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] U: [mm] \lambda*v \in [/mm] U
zu 1): Kann man sagen: U ist nicht leer, da 0 [mm] \in [/mm] U?
zu 3):
[mm] \gamma( \lambda*v,\lambda*v) [/mm] = [mm] \lambda^2*\gamma(v,v) [/mm] = 0
zu 2): Hier weiß ich nicht weiter. Ich habe es versucht so zu machen wie 3):
[mm] \gamma(v+w,v+w) [/mm] = [mm] \gamma(v,v) +\gamma(v,w) [/mm] + [mm] \gamma(w,v) [/mm] + [mm] \gamma(w,w) [/mm] = [mm] 2*\gamma(v,w)
[/mm]
Aber das bringt mich ja leider nicht weiter :(
Hat vielleicht einer einen Tipp für mich?
Wär toll :)
Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mo 05.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich bez. die Bilinearform mit g.
Du hast 2g(v,w)= g(v+w,v+w), also ist nach Vor., g(v,w) größer oder gleich 0.
Mache nun dasselbe mit v-w. Was erhälst Du dann für g(v,w) ?
Was bedeutet das für g(v,w) ? und damit für g(v+w,v+w) ?
Fred
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:05 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
wie du schon sagtest, ist 2g(v,w) =g(v+w,v+w) [mm] \ge [/mm] 0
[mm] 0\le [/mm] g(v-w,v-w) = -2*g(v,w) [mm] \le0
[/mm]
=> g(v-w,v-w) = -2*g(v,w) = 0
=> g(v+w,v+w) = 0
:)
Vielen Dank!
zur b)
Muss man hier
1) Linearität im 1. Argument
2) Linearität im 2. Argument
3) Symmetrie
4) g^- ([v],[v]) [mm] \ge [/mm] 0 und g^-([v],[v]) = 0 <=> [v] = [0]
5) wohldefiniertheit
zeigen?
Kann man das so machen?:
g^-([v+w],[u]) = g(v+w,u) = g(v,u) + g(w,u) = g^-([v],[u]) + g^-([w],[u])
und 1-3 genauso?
zu 4) g^-([v],[v]) = g(v,v) >=0
und
g^-([v],[v])=0 <=> g(v,v) =0 <=> [mm] v\in [/mm] U <=> v-0 [mm] \in [/mm] U <=> v [mm] \sim [/mm] 0 <=> [v] = [0]
Wäre dankbar für eine Antwort!
:)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:32 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Ich bins nochmal!
Wie zeigt man denn die wohldefiniertheit?
Seien [mm] w_1,w_2,w_1^', w_2^' \in [/mm] V, sodass:
[mm] [w_1] [/mm] = [mm] [w_1^' [/mm] ] und [mm] [w_2] [/mm] = [mm] [w_2^' [/mm] ]
Ich muss doch nun zeigen: [mm] g^-([w_1],[w_2]) [/mm] = [mm] g^-([w_1^' ],[w_2^' [/mm] ])
oder täusche ich mich da?
Wenn ja.. ich komm nicht auf das Ergebnis :/
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Hi,
kann man das so machen?
[mm] g^{-}([v],[w]) [/mm] = g(v,w) [mm] =g^{-}([v'],[w'])
[/mm]
[mm] \Rightarrow g^{-}([v],[w]) [/mm] - [mm] g^{-}([v'],[w']) [/mm] =0
Ich setze [v]=v+u und [v']=v+u' wobei [mm] u\not=u' [/mm] desweiteren, dass v,w nicht die Nullvektoren sind.
[mm] g^{-}(v+u,w+u)-g^{-}(v+u',w+u')=0
[/mm]
[mm] \gdw g^{-}(v,w)+g^{-}(v,u)+g^{-}(u,w)+g^{-}(u,u) -g(v,w)-g^{-}(v,u')-g^{-}(u',w)-g^{-}(u',u') [/mm] =0
[mm] \gdw g^{-}(v,u)-g^{-}(v,u')+g^{-}(u,w)-g^{-}(u',w)=0
[/mm]
[mm] \gdw g^{-}(v,u-u')+g^{-}(u-u',w)=0
[/mm]
wegen positiv-definit muss gelten: [mm] g^{-}(v,u-u')= [/mm] 0 und [mm] g^{-}(u-u',w)=0
[/mm]
da v, w nicht die Nullvektoren sind, muss u-u' der Nullvektor sein, also muss entgegen meiner Annahme u=u' sein, also ist es wohldefiniert.
ps: Symmetrie muss du nicht zeigen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Do 08.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Do 08.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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