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Hi!
Bin neu hier und finde die Idee echt super!!
Habe auch gleich eine Aufgabe, durch die ich nicht durchsteige...
Es sei Z3 der körper mit drei Elementen,
[mm]M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 2\\2 & 0 & 2 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \in Mat[/mm]4x4(Z3), V=Z43 und f: V x V --> Z3, (X,Y)-->Xt Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
MY die durch M definierte Bilinearform auf V.
Berechnen Sie eine Basis {F1,F2,G1,G2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} von V, so dass
f(Fi,Fj)=f(Gi,Gj)=0 und f(Fi, Gj)=[mm]\delta[/mm]ij für alle i, j [mm]\in [/mm] {1,2} gelten.
(Zur Erinnerung: [mm]\delta[/mm]ij= 1 , falls i=j -- 0 sonst)
Was muss ich machen? Biliniarformen sind mir ein Rätsel...
gruß Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 24.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Moe_Hammed,
herzlich willkommen im MatheRaum! 
Ich habe die Aufgabe jetzt gelöst, es waren viele, aber immerhin einfache Gleichungen zu lösen. Ich gebe dir jetzt ein paar Tipps, bis ich denke, dass du alleine weiterkommst.
Gesucht sind vier Vektoren [mm] f_1, f_2, g_1, g_2 \in \IZ_3^4 [/mm], die folgenden 12 Gleichungen genügen sollen:
(1) [mm] f_1^t*M*f_1 = 0 [/mm]
(2) [mm] f_1^t*M*f_2 = 0 [/mm]
(3) [mm] f_2^t*M*f_1 = 0 [/mm]
(4) [mm] f_2^t*M*f_2 = 0 [/mm]
(5) [mm] g_1^t*M*g_1 = 0 [/mm]
(6) [mm] g_1^t*M*g_2 = 0 [/mm]
(7) [mm] g_2^t*M*g_1 = 0 [/mm]
(8) [mm] g_2^t*M*g_2 = 0 [/mm]
(9) [mm] f_1^t*M*g_1 = 1 [/mm]
(10) [mm] f_1^t*M*g_2 = 0 [/mm]
(11) [mm] f_2^t*M*g_1 = 0 [/mm]
(12) [mm] f_2^t*M*g_2 = 1 [/mm]
Ich starte mit dem Vektor [mm] f_1 = (1,0,0,0)^t [/mm], weil er so schön einfach ist, und schaue, ob er der Gleichung (1) genügt:
[mm] f_1^t*M = (0,1,0,2) [/mm] und [mm] f_1^t*M*f_1 = (0,1,0,2)*(1,0,0,0)^t = 0 [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Für den Vektor [mm] f_2 [/mm] suche ich einen, der Gleichung (2) genügt; ein solcher ist offenbar [mm] f_2 = (0,0,1,0)^t [/mm] (denn [mm] f_1^t*M*f_2 = (0,1,0,2)*(0,0,1,0)^t = 0 [/mm]).
Nun stelle ich noch sicher, dass (3) und (4) gelten:
[mm] f_2^t*M = (0,1,0,1) [/mm] und
(3): [mm] f_2^t*M*f_1 = (0,1,0,1)*(1,0,0,0)=0 [/mm]
(4): [mm] f_2^t*M*f_2 = (0,1,0,1)*(0,0,1,0)=0 [/mm]
Dass diese beiden Vektoren den ersten vier Gleichungen genügen, war mehr oder weniger Glück, aber es wäre jetzt auch nicht schwierig gewesen, zwei andere Vektoren zu finden.
Jetzt suche ich die Vektoren [mm] g_1=(a,b,c,d)^t [/mm] und [mm] g_2=(e,f,g,h)^t [/mm] mit [mm]a,b,c,d,e,f,g,h \in \IZ_3 [/mm].
Dazu kann ich bequem die Gleichungen (9) bis (12) benutzen:
(9): [mm] f_1^t*M*g_1 = (0,1,0,2)*(a,b,c,d)^t \stackrel{!}{=} 1 \gdw b+2d=1 [/mm]
(10): [mm] f_1^t*M*g_2 = (0,1,0,2)*(e,f,g,h)^t \stackrel{!}{=} 0 \gdw f+2h=0 [/mm]
(11): [mm] f_2^t*M*g_1 = (0,1,0,1)*(a,b,c,d)^t \stackrel{!}{=} 0 \gdw b+d=0 [/mm]
(12): [mm] f_2^t*M*g_2 = (0,1,0,1)*(e,f,g,h)^t \stackrel{!}{=} 1 \gdw f+h=1 [/mm]
Aus diesen vier Gleichungen folgt nun: [mm] b=2, d=1 [/mm] und [mm] f=2, h=2 [/mm].
Damit haben die beiden Vektoren [mm]g_1,g_2[/mm] schon mal diese einfachere Gestalt:
[mm] g_1 = (a,2,c,1)^t [/mm] und
[mm] g_2 = (e,2,g,2)^t [/mm]
Nun benutze die Gleichungen (5) - (8), um [mm] a,c,e,g [/mm] zu bestimmen; magst du das vielleicht mal selbst versuchen? Bei Problemen helfen wir dir schließlich gerne weiter und kontrollieren auch gerne deine Ergebnisse.
Viel Erfolg,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Sa 24.01.2004 | | Autor: | Moe_Hammed |
Hi Marc!
Also ich bin noch nicht dazu gekommen deine Antwort durchzulesen, aber ich finde es echt toll, dass Du dir soviel Zeit nimmst um meine Fragen und die der vielen anderen "Unwissenden" zu klären!!!
Respekt+vielen Dank!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hello again!
Habs jetzt zu ende geführt:
für (7) egibt sich e=-1 -->e=1
für (6) gilt dann c=-1 --> c=1
a und g sind beliebig zu wählen(Die Variablen a und g haben in den Gleichungen, in denen sie vorkommen, Koeffizienten, die 0 sind)?
Also ist die Basis B={ F1, F2, G1, G2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}={(1,0,0,0)t,(0,0,1,0)t,(0,2,1,1)t,(1,2,0,2)tEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
was sagt der Meister dazu?
Die Vektoren F1 und F2 hast du durch Probieren rausgefunden oder hast du schon den "magischen Blick" was passen könnte?
Gruß Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:19 So 25.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Moe_Hammed,
> Habs jetzt zu ende geführt:
Das finde ich gut.
> für (7) egibt sich e=-1 -->e=1
> für (6) gilt dann c=-1 --> c=1
Das stimmt für sich genommen nicht. Der -1 würde im [mm] \IZ_3 [/mm] die [mm] 2_3 [/mm] entsprechen.
(-1 ist ja in [mm] \IZ_3 [/mm] das additive Inverse zu [mm]1_3 [/mm], also [mm] 1_3 + (-1_3)= 0_3 [/mm], was auch für [mm] 2_3 [/mm] gilt: [mm] 1_3 + 2_3 = 0_3 \Rightarrow -1_3 = 2_3 [/mm])
Das gleiche gilt für c.
Allerdings ergeben meine Gleichungen, dass e=2 und c=2 nicht richtig sein kann, s.u.
> a und g sind beliebig zu wählen(Die Variablen a und g haben
> in den Gleichungen, in denen sie vorkommen, Koeffizienten,
> die 0 sind)?
Das sehe ich auch so, ich poste mal zum Vergleich meine Rechnung.
Wir hatten bereits gefunden, dass
[mm] g_1 = (a,2,c,1)^t [/mm] und
[mm] g_2 = (e,2,g,2)^t [/mm]
und wollten diese vier Gleichungen
(5) [mm] g_1^t*M*g_1 = 0 [/mm]
(6) [mm] g_1^t*M*g_2 = 0 [/mm]
(7) [mm] g_2^t*M*g_1 = 0 [/mm]
(8) [mm] g_2^t*M*g_2 = 0 [/mm]
noch dazu benutzen, die restlichen vier Variablen zu bestimmen.
Also, zunächst als Nebenrechnung die Matrix M von links multipliziert:
[mm] g_1^t*M [/mm]
[mm] = (a,2,c,1)*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 2\\2 & 0 & 2 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] = (2*2+1*1,a+c+2*1,2*2+2*1,2a+2+c) [/mm]
[mm] = (2,a+c+2,0,2a+2+c) [/mm]
[mm] g_2^t*M [/mm]
[mm] = (e,2,g,2)*M [/mm]
[mm] = (2*2+1*2,e+g+2*2,2*2+2*2,2e+2+g) [/mm]
[mm] = (0,e+g+1,2,2e+2+g) [/mm]
Nun kann ich bequem die eigentlichen Produkte berechnen:
(5): [mm] g_1^t*M*g_1 = (2,a+c+2,0,2a+2+c)*(a,2,c,1)^t = 2a + 2a+2c+1 + 0 + 2a+2+c = 0a + 3c + 3 = 0[/mm]
(6): [mm] g_1^t*M*g_2 = (2,a+c+2,0,2a+2+c)*(e,2,g,2)^t = 2e + 2a+2c+1 + 0 + a+1+2c = 3a + c + 2e + 2 = c+2e+2[/mm]
(7): [mm] g_2^t*M*g_1 = (0,e+g+1,2,2e+2+g)*(a,2,c,1)^t = 0 + 2e+2g+2 + 2c + 2e+2+g = 2c + e + 3g + 4 = 2c+e+1[/mm]
(8): [mm] g_2^t*M*g_2 = (0,e+g+1,2,2e+2+g)*(e,2,g,2)^t = 0 + 2e+2g+2 + 2g + e+1+2g =\ldots= 0[/mm]
Alle vier Gleichungen müssen 0 sein, die Gleichungen (5) und (8) liefern also keinen Beitrag zur Lösung, sie sind ohnehin immer 0. Damit sind a und g frei wählbar (wie du ja schon richtig bemerkt hattest), ich wähle a=g=0.
Es bleiben die Gleichungen (6) und (7) übrig:
(6) [mm] c+2e+2\stackrel{!}{=}0 [/mm]
(7) [mm] 2c+e+1\stackrel{!}{=}0 [/mm]
Diese beiden Gleichungen sind wiederum äquivalent, denn (7) = 2*(6).
Nun bleibt nur noch
(6) [mm] c+2e+2=0 [/mm]
Hier sieht man jetzt ügrigens, dass dein Vorschlag c=e=2 nicht Lösung sein kann: [mm] 2+2*2+2 = 2+1+2 = 2 \neq 0 [/mm].
Ich wähle stattdessen c=1 und e=0.
Zusammenfassend habe ich nun als (eine mögliche) Lösung:
[mm] f_1 = (1,0,0,0)^t [/mm]
[mm] f_2 = (0,0,1,0)^t [/mm]
[mm] g_1 = (0,2,1,1)^t [/mm]
[mm] g_2 = (0,2,0,2)^t [/mm]
Da fällt mir ein, diese vier Vektoren sollten ja auch eine Basis bilden, d.h. wir müssen noch zeigen, dass sie linear unabhängig sind (falls übrigens nicht, müssen wir die bis hierher freigewählten Variablen a,g und e halt so bestimmen, dass die vier Vektoren lin. unabhängig werden).
Lineare Unabhängigkeit:
z.z.: [mm] s*f_1 + t*f_2 + u*g_1 + v*g_2 = 0 \Rightarrow s=t=u=v=0[/mm]
[mm] s*f_1 + t*f_2 + u*g_1 + v*g_2 = 0 [/mm]
[mm] \gdw \begin{array}{rcc} s & = & 0 \\
u*2 + v*2 & = & 0 \\
t+u & = & 0 \\
u + v*2 & = & 0 \end{array} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier sieht man recht schnell, ich mache es mal nur "mündlich": Durch Addition der 2. und 4. Gleichung ergibt sich sofort v=0, dieses in die 4. Gleichung eingesetzt wiederum u=0 und das in 3. eingesetzt t=0.
> Also ist die Basis B={ F1, F2,
> G1,
> G2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}={(1,0,0,0)t,(0,0,1,0)t,(0,2,1,1)t,(1,2,0,2)tEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Fast richtig also, wenn meine letzte Gleichung (6) richtig ist.
> Die Vektoren F1 und F2 hast du durch
> Probieren rausgefunden oder hast du schon den "magischen
> Blick" was passen könnte?
Nein, gar nicht eigentlich. Ich habe ganz naiv mit dem einfachsten Vektor außer dem 0-Vektor begonnen, also (1,0,0,0). Da hätte ich wahrscheinlich auch jeden anderen Vektor, der zumindestens Gleichung (1) genügt, nehmen können. Naja, ein bißchen hatte ich schon die Gleichungen (1) bis (4) im Blick, um die beiden Vektoren zu bestimmen, weil ich mir so einen allgemeinen Ansatz mit 8 weiteren Variablen aussen denen für [mm] g_1,g_2[/mm] ersparen wollte.
Zum Spaß könnte ich mal mit [mm] f_1=(i,j,k,l)^t [/mm] und [mm] f_2=(m,n,o,p)^t [/mm] ansetzen, aber um diese Uhrzeit hält sich der Spaß auch in Grenzen; vielleicht morgen 
Alles Gute,
Marc.
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