Bilinearformen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es bezeichne [mm] $e_1, e_2, e_3 \in \mathbb{R}^3$ [/mm] die Standardbasis und
$ [mm] a_1 [/mm] := [mm] \vektor{1 \\1\\0}, a_2:=\vektor{0\\1\\1}, a_3 [/mm] := [mm] \vektor{1\\0\\1}$
[/mm]
a.) Es bezeichne [mm] $\alpha$ [/mm] die Bilinearform auf dem [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] mit [mm] $\alpha(e_i, e_j) [/mm] = [mm] \delta_{i,j}$. [/mm] Bestimmen sie die darstellende Matrix von [mm] $\alpha$ [/mm] in der Basis [mm] $a_1, a_2. a_3$.
[/mm]
b.) Es bezeichne [mm] \beta [/mm] die Bilinearform auf dem [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] mit [mm] $\beta(a_i, a_j) [/mm] = [mm] \delta_{i,j}$. [/mm] Bestimmen sie die darstellende Matrix von [mm] $\beta$ [/mm] in der Basis [mm] $e_1, e_2, e_3$.
[/mm]
|
hi
was bilinearformen sind ist mir klar, auch die bedeutung des kronecker-dealtas - aber bei dieser aufgabe verstehe ich einfach nicht, was zu tun ist. ich denke, ich muss herausfinden, wie meine bilinearform [mm] \alpha [/mm] bzw [mm] \beta [/mm] jeweils aussieht, damit ich es dann auf die jeweils andre basis übertragen kann?
vielleicht überseh ich auch einfach was, mein hirn mag heut auch nicht mehr so recht, daher wäre ich über einen tipp zur aufgabe SEHR dankbar.
gruß, GB
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
> Es bezeichne [mm]e_1, e_2, e_3 \in \mathbb{R}^3[/mm] die
> Standardbasis und
> [mm]a_1 := \vektor{1 \\1\\0}, a_2:=\vektor{0\\1\\1}, a_3 := \vektor{1\\0\\1}[/mm]
>
> a.) Es bezeichne [mm]\alpha[/mm] die Bilinearform auf dem
> [mm]\mathbb{R}^3[/mm] mit [mm]\alpha(e_i, e_j) = \delta_{i,j}[/mm]. Bestimmen
> sie die darstellende Matrix von [mm]\alpha[/mm] in der Basis [mm]a_1, a_2. a_3[/mm].
Hallo,
erstmal hierzu, vielleicht bekommst Du dann auch Ideen für b).
Mach Dir mal klar, daß die Bilinearform [mm] \alpha [/mm] das ganz normale Skalarprodukt ist, wie Du's aus der Schule kennst.
In der darstellenden Matrix bzgl der Basis [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] steht an der Position ij der Eintrag [mm] \alpha{a_i, a_j}.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> b.) Es bezeichne [mm]\beta[/mm] die Bilinearform auf dem
> [mm]\mathbb{R}^3[/mm] mit [mm]\beta(a_i, a_j) = \delta_{i,j}[/mm]. Bestimmen
> sie die darstellende Matrix von [mm]\beta[/mm] in der Basis [mm]e_1, e_2, e_3[/mm].
>
> hi
>
> was bilinearformen sind ist mir klar, auch die bedeutung
> des kronecker-dealtas - aber bei dieser aufgabe verstehe
> ich einfach nicht, was zu tun ist. ich denke, ich muss
> herausfinden, wie meine bilinearform [mm]\alpha[/mm] bzw [mm]\beta[/mm]
> jeweils aussieht, damit ich es dann auf die jeweils andre
> basis übertragen kann?
>
> vielleicht überseh ich auch einfach was, mein hirn mag heut
> auch nicht mehr so recht, daher wäre ich über einen tipp
> zur aufgabe SEHR dankbar.
>
> gruß, GB
>
> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
|
| |
|
ok, also die a) hab ich denke ich verstanden.
ich erhalte [mm] $M_\alpha [/mm] = [mm] \pmat{2&1&1\\1&2&1\\1&1&2}$
[/mm]
zur b)
also, für die Bilinearform gilt: [mm] &\beta(a_i, a_j) [/mm] = [mm] \delta_{i,j} [/mm] = [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$.
[/mm]
vergleich ich das mit der a), habe ich quasi $SKP - 1$. also, für den Eintrag i,j nehme ich [mm] $ [/mm] - 1$. übertrage ich das auf die Standardbasis erhalte ich die Matrix [mm] $M_\beta [/mm] = [mm] \pmat{0&-1&-1\\-1&0&-1\\-1&-1&0}$
[/mm]
hab ich das richtig verstanden...?
Gruß GB
|
|
|
| |
|
> ok, also die a) hab ich denke ich verstanden.
> ich erhalte [mm]M_\alpha = \pmat{2&1&1\\1&2&1\\1&1&2}[/mm]
Hallo,
ja, das stimmt.
>
> zur b)
> also, für die Bilinearform gilt: [mm]&\beta(a_i, a_j)[/mm] =
> [mm]\delta_{i,j}[/mm] = [mm]\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$.[/mm]
>
> vergleich ich das mit der a), habe ich quasi [mm]SKP - 1[/mm].
Nein, was bringt Dir dier Vergleich der Matrizen?
Schreibe in b) die [mm] e_1 [/mm] als Linearkombinationen der [mm] a_i [/mm] und berechne dann die [mm] \beta(e_i,e_j).
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Stimmt dann folgende Matrix bei der b)?
[mm] \frac{1}{4}\pmat{3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3}
[/mm]
|
|
|
| |
|
wie kommst du darauf?
heut ist einfach nich mein tag... :-(
|
|
|
| |
|
Ich hab erst mal [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] durch [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] ausgedrückt:
[mm] e_1=\frac{1}{2}a_1-\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{2}a_3
[/mm]
[mm] e_2=\frac{1}{2}a_1+\frac{1}{2}a_2-\frac{1}{2}a_3
[/mm]
[mm] e_3=-\frac{1}{2}a_1+\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{2}a_3
[/mm]
dann ist:
[mm] \phi(e_1,e_1)=\phi(\frac{1}{2}a_1-\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{2}a_3,\frac{1}{2}a_1-\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{2}a_3)=\frac{1}{4}(\phi(a_1,a_1)+\phi(a_2,a_2)+\phi(a_3,a_3))+0+0+0+...+0 [/mm] = [mm] \frac{3}{4}
[/mm]
Und so machst du es halt mit den anderen auch.
Habe ich es vielleicht zu undeutlich erklärt?
|
|
|
| |
|
> Stimmt dann folgende Matrix bei der b)?
>
> [mm]\frac{1}{4}\pmat{3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3}[/mm]
>
>
Hallo,
ihre erste zeile jedenfalls entspricht dem, was ich vorhin auch hatte.
Weiter nachrechnen tue ich das jetzt nicht, ich denke, daß Prinzip ist klar.
Vielleicht erklärst Du dem Kommilitonen noch, wie Du es gemacht hast.
Gruß v. Angela
,
|
|
|
|
