Billinearform, Darstellung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:31 Do 21.02.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Betrachte die [mm] \pmat{1 &-2 & -3 \\ -2 & 5&7\\-3&7&11 } \in M_{3\times3}^{sym} (\IC)
[/mm]
gesucht S [mm] \in GL_n (\IC) [/mm] sodass [mm] S^t [/mm] A S = [mm] \pmat{ I_3 & 0 \\ 0& 0} [/mm] |
wähle [mm] b_1 [/mm] sodass [mm] \beta(b_1 [/mm] , [mm] b_1)=1 \not=0
[/mm]
-> [mm] b_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0}
[/mm]
Suche [mm] b_2=\vektor{b_2^1 \\ b_2^2 \\ b_2^3} [/mm] : [mm] \beta(b_1 [/mm] , [mm] b_2)=0, \beta(b_2, b_2)=1 \not=0
[/mm]
(sind keine Hochzahlen sonder indizes)
-> [mm] \beta(b_1 [/mm] , [mm] b_2)= b_1^t [/mm] A [mm] b_2 [/mm] =0 , [mm] b_2^1 [/mm] - [mm] 2b_2^2 [/mm] - [mm] 3b_2^3 [/mm] =0
-> [mm] \beta(b_2, b_2)= b_2^t [/mm] A [mm] b_2=1 [/mm] , [mm] b_2^1 [/mm] * [mm] (b_2^1 [/mm] - [mm] 2b_2^2 [/mm] - [mm] 3b_2^3)+b_2^2 [/mm] * [mm] (-2b_2^1 [/mm] + [mm] 5b_2^2 +7b_2^3)+b_2^3 [/mm] * [mm] (-3b_2^1 [/mm] + [mm] 7b_2^2 [/mm] + [mm] 11b_2^3)=1
[/mm]
<=> [mm] b_2^2 [/mm] * [mm] (-2b_2^1 [/mm] + [mm] 5b_2^2 +7b_2^3)+b_2^3 [/mm] * [mm] (-3b_2^1 [/mm] + [mm] 7b_2^2 [/mm] + [mm] 11b_2^3)=1
[/mm]
<=> 14 [mm] b_3 b_2 [/mm] - [mm] 2b_2 b_1 [/mm] + 5 [mm] b_2 b_2 [/mm] - 3 [mm] b_3 b_1 [/mm] + 11 [mm] b_3 b_3=1
[/mm]
?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Do 21.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Lu,
> Betrachte die [mm]\pmat{-1 &-2 & -3 \\ -2 & 5&7\\-3&7&11 } \in M_{3\times3}^{sym} (\IC)[/mm]
>
> gesucht S [mm]\in GL_n (\IC)[/mm] sodass [mm]S^t[/mm] A S = [mm]\pmat{ I_3 & 0 \\ 0& 0}[/mm]
>
Was bedeutet [mm] $I_3$?
[/mm]
> wähle [mm]b_1[/mm] sodass [mm]\beta(b_1[/mm] , [mm]b_1)=1 \not=0[/mm]
> -> [mm]b_1[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\0}[/mm]
Wenn [mm] $\beta(b_1,b_1) [/mm] = [mm] b_1^t\pmat{-1 &-2 & -3 \\ -2 & 5&7\\-3&7&11 }b_1$ [/mm] ist, so ist [mm] $\beta\left(\vektor{1\\0\\0},\vektor{1\\0\\0}\right) [/mm] = -1$.
>
> Suche [mm]b_2=\vektor{b_2^1 \\ b_2^2 \\ b_2^3}[/mm] : [mm]\beta(b_1[/mm] ,
> [mm]b_2)=0, \beta(b_2, b_2)=1 \not=0[/mm]
> (sind keine Hochzahlen
> sonder indizes)
> -> [mm]\beta(b_1[/mm] , [mm]b_2)= b_1^t[/mm] A [mm]b_2[/mm] =0 , [mm]b_2^1[/mm] - [mm]2b_2^2[/mm] -
> [mm]3b_2^3[/mm] =0
> -> [mm]\beta(b_2, b_2)= b_2^t[/mm] A [mm]b_2=1[/mm]:
> [mm]b_2^1[/mm] * [mm](b_2^1[/mm] -
> [mm]2b_2^2[/mm] - [mm]3b_2^3)+b_2^2[/mm] * [mm](-2b_2^1[/mm] + [mm]5b_2^2 +7b_2^3)+b_2^3[/mm] *
> [mm](-3b_2^1[/mm] + [mm]7b_2^2[/mm] + [mm]11b_2^3)=1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> <=> [mm]b_2^2[/mm] * [mm](-2b_2^1[/mm] + [mm]5b_2^2 +7b_2^3)+b_2^3[/mm] * [mm](-3b_2^1[/mm] +
> [mm]7b_2^2[/mm] + [mm]11b_2^3)=1[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $-(b_2^1)^2+5(b_2^2)^2+11(b_2^3)^2-4b_2^1b_2^2-6b_2^1b_2^3+14b_2^1b_2^3 [/mm] =1$
> <=> 14 [mm]b_3 b_2[/mm] - [mm]2b_2 b_1[/mm] + 5 [mm]b_2 b_2[/mm] - 3 [mm]b_3 b_1[/mm] + 11 [mm]b_3 b_3=1[/mm]
>
> ?
> LG
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Do 21.02.2013 | | Autor: | Lu- |
Betrachte die $ [mm] \pmat{1 &-2 & -3 \\ -2 & 5&7\\-3&7&11 } \in M_{3\times3}^{sym} (\IC) [/mm] $
sollte eine 1 sein in der eintragung.
[mm] I_3 [/mm] .. 3x3- Einheitsmatrix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Do 21.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Betrachte die [mm]\pmat{1 &-2 & -3 \\ -2 & 5&7\\-3&7&11 } \in M_{3\times3}^{sym} (\IC)[/mm]
>
> sollte eine 1 sein in der eintragung.
Dann ist [mm] $\vektor{1\\0\\0} [/mm] ok.
> [mm]I_3[/mm] .. 3x3- Einheitsmatrix
Ist [mm] $S^{-1}AS [/mm] = [mm] \pmat{ I_3 & 0 \\ 0& 0} \in M_{4 \times 4}(\IC)$?
[/mm]
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Do 21.02.2013 | | Autor: | Lu- |
Hallo
Nein, ich hab das schlampig aufgeschrieben.
Erklärung zu der Nottaion, ect.
Satz in Vo:
Ist [mm] \beta: [/mm] V [mm] \times [/mm] V -> [mm] \IK [/mm] eine symmetrische Billinearform, dann [mm] \exists [/mm] Basis B von V sodass [mm] [\beta]_B [/mm] Diagonalgestalt hat. Ist [mm] \IK [/mm] ein Körper indem jedes Element eine Wurzel besitzt( in [mm] \IC [/mm] also gegeben) dann kann B so gewählt werden dass
[mm] [\beta]_B [/mm] = [mm] \pmat{ I_k&0 \\ 0 & 0}, [/mm] wobei k= [mm] rank(\beta)
[/mm]
Wir suchen nun zu A ein S [mm] \in GL_n (\IC) [/mm] sodass
[mm] S^t [/mm] A S = [mm] \pmat{ I_k&0 \\ 0 & 0}
[/mm]
wobei hier k=3 ist, da [mm] rk(\beta_A)=rk([\beta_A]_B)= [/mm] rk(A)
wenn die zugehöreige symmetrische billinearform von A nicht degeneriert ist [mm] (rank(\beta_A)=dim(V)) [/mm] dann kann man V so wählen dass [mm] [\beta_A]_B [/mm] = [mm] I_n, [/mm] Da A nicht invertierbar => A nicht degeneriert gilt [mm] [\beta_A]_B [/mm] = [mm] I_3
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Do 21.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
in diesem Fall, wenn n=k, darf man die Nullen weglassen.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Do 21.02.2013 | | Autor: | Lu- |
> [mm] b_2^1*(b_2^1-2b_2^2-3b_2^3)+b_2^2*(-2b_2^1+5b_2^2 +7b_2^3)+b_2^3*(-3b_2^1+7b_2^2+11b_2^3)=1
[/mm]
> [mm] <=>b_2^2*(-2b_2^1+5b_2^2 +7b_2^3)+b_2^3*(-3b_2^1+7b_2^2+11b_2^3)=1 [/mm]
Hier habe ich doch nur verwendet dass gilt:
$ [mm] \beta(b_1 [/mm] $ , $ [mm] b_2)= b_1^t [/mm] $ A $ [mm] b_2 [/mm] $ =0 , $ [mm] b_2^1 [/mm] $ - $ [mm] 2b_2^2 [/mm] $ -$ [mm] 3b_2^3 [/mm] $ =0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Do 21.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Lu,
ok, Deine Rechnung stimmt dann.
Die Indizes in der letzten Zeile, hatten mich völlig verwirrt.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Do 21.02.2013 | | Autor: | Lu- |
$ [mm] b_2^2 [/mm] $ * $ [mm] (-2b_2^1 [/mm] $ + $ [mm] 5b_2^2 +7b_2^3)+b_2^3 [/mm] $ * $ [mm] (-3b_2^1 [/mm] $ + $ [mm] 7b_2^2 [/mm] $ + $ [mm] 11b_2^3)=1 [/mm] $
wähle [mm] b_2^3 [/mm] =0
[mm] b_2^2 [/mm] * [mm] (-2b_2^1 [/mm] + [mm] 5b_2^2)=1
[/mm]
<=> - 2 [mm] b_2^2 b_2^1 [/mm] + [mm] b_2^2 5b_2^2=1
[/mm]
und vom anfang muss das Glgsystem erfüllen [mm] b_2^1 [/mm] - [mm] 2b_2^2- [/mm] =0
Ich erhalte aus den beiden Gleichungen [mm] b_2 [/mm] = [mm] \vektor{b_2^1 \\ b_2^2 \\b_2^3} [/mm] , [mm] b_2^2 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1
wähle [mm] b_2^2 [/mm] =1
so ist [mm] b_1^1 [/mm] = 2
Darf ich wirklich so viel wählen?
Laut probe müsste es stimmen, aber trotzdem kommt mir das seltsam vor.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Do 21.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Lu,
> [mm]b_2^2[/mm] * [mm](-2b_2^1[/mm] + [mm]5b_2^2 +7b_2^3)+b_2^3[/mm] * [mm](-3b_2^1[/mm] +
> [mm]7b_2^2[/mm] + [mm]11b_2^3)=1[/mm]
>
> wähle [mm]b_2^3[/mm] =0
> [mm]b_2^2[/mm] * [mm](-2b_2^1[/mm] + [mm]5b_2^2)=1[/mm]
> <=> - 2 [mm]b_2^2 b_2^1[/mm] + [mm]b_2^2 5b_2^2=1[/mm]
> und vom anfang muss
> das Glgsystem erfüllen [mm]b_2^1[/mm] - [mm]2b_2^2-[/mm] =0
>
> Ich erhalte aus den beiden Gleichungen [mm]b_2[/mm] = [mm]\vektor{b_2^1 \\ b_2^2 \\b_2^3}[/mm]
> , [mm]b_2^2[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1
> wähle [mm]b_2^2[/mm] =1
> so ist [mm]b_1^1[/mm] = 2
>
> Darf ich wirklich so viel wählen?
Ja, so geht es.
> Laut probe müsste es stimmen, aber trotzdem kommt mir das
> seltsam vor.
Jetzt nach der gleichen Methode noch einen 3. Vektor berechnen.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Fr 22.02.2013 | | Autor: | Lu- |
Danke, ich habe das Bsp nun hinbekommen.
Ich hätte noch eine Frage beim wählen des ersten basisvektors.
Hier $ [mm] \pmat{1 &-2 & -3 \\ -2 & 5&7\\-3&7&11 } \in M_{3\times3}^{sym} (\IC) [/mm] $
ist es ganz logisch $
-> $ [mm] b_1 [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm] $
so zu wählen.
Aber wenn allgemein kein 1-er steht in der Diagonale, wie wählt man dann den basisvektor [mm] b_1 [/mm] sodass [mm] \beta(b_1 [/mm] , [mm] b_1)=1 \not=0 [/mm]
??
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Fr 22.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Lu,
> Danke, ich habe das Bsp nun hinbekommen.
> Ich hätte noch eine Frage beim wählen des ersten
> basisvektors.
>
> Hier [mm]\pmat{1 &-2 & -3 \\ -2 & 5&7\\-3&7&11 } \in M_{3\times3}^{sym} (\IC)[/mm]
>
> ist es ganz logisch $
> -> [mm]b_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\0}[/mm]
> so zu wählen.
>
> Aber wenn allgemein kein 1-er steht in der Diagonale, wie
> wählt man dann den basisvektor [mm]b_1[/mm] sodass [mm]\beta(b_1[/mm] ,
> [mm]b_1)=1 \not=0[/mm]
> ??
Es ist sinnvoll einen Vektor [mm] $b_1 [/mm] = [mm] \vektor{c\\0\\0}$ [/mm] zu wählen.
Wenn [mm] $a_{1;1} \not= [/mm] 0$ das erste Diagonalelement der Matrix ist,
sollte $c = [mm] \bruch{1}{\wurzel{a_{1;1}}}$ [/mm] sein, denn [mm] $\beta(b_1,b_1) [/mm] = [mm] c^2*a_{1;1}$.
[/mm]
> LG
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Fr 22.02.2013 | | Autor: | Lu- |
Hallo
Vielen Dank,
Und bei negativer eintragung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Sa 23.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Lu,
ist [mm] $a_{1;1} [/mm] < 0 $, sollte $c = [mm] \bruch{i}{\wurzel{|a_{1;1}|}} \in \IC$ [/mm] sein.
Gruß
meili
|
|
|
|
