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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Sa 19.11.2011 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | Bei einem Multiple-Choice-Test werden zu jeder Frage 3 mögliche Antworten angeboten. Der Test ist bestanden, wenn höchstens eine Frage falsch beantwortet wird.
Wie viele Fragen muss man stellen, damit die Wahrscheinlichkeit, mit reinem Raten durchzukommen höchstens 0.1 ist?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt dann ein Kanditat durch, der jede Frage mit Wahrscheinlichkeit 0.8 richtig beantwortet? |
Hallo,
also zuerst habe ich mal einen Alternativversuch aufgestellt (eine Frage beantworten):
[mm] X~A_{\bruch{1}{3}}, X...Frage richtig, M_X = \{0,1\}, p(1) = \Theta = \bruch{1}{3}, p(0) = 1- \Theta = \bruch{2}{3}[/mm]
diesen will ich nun n-mal durchführen: --> Binomialverteilung
[mm] Y~B_{n,\Theta}, Y...Anzahl der Richtigen Fragen, M_Y=\{0,...,n\}, p(x)= \vektor{n \\ x}*\Theta^{x}*(1-\Theta)^{n-x}[/mm]
Nun habe ich aber das Problem, wie ich aus der Formel p(x)=... das n erhalte:
[mm] 0.1 \ge p(n-1)=\vektor{n \\ n-1}*(\bruch{1}{3})^{n-1}*(\bruch{2}{3})^1 = n * (\bruch{1}{3})^{n-1}*\bruch{2}{3}[/mm]
Wie kann ich diese Gleichung nach n lösen? Oder gibt es andere und leichtere Möglichkeiten das n zu bestimmen?
Ich habe nämlich auch bei ähnlichen Beispielen dasselbe Problem...
Oder ist mein Ansatz falsch?
Liebe Grüße,
r2d2
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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> Bei einem Multiple-Choice-Test werden zu jeder Frage 3
> mögliche Antworten angeboten. Der Test ist bestanden, wenn
> höchstens eine Frage falsch beantwortet wird.
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> Wie viele Fragen muss man stellen, damit die
> Wahrscheinlichkeit, mit reinem Raten durchzukommen
> höchstens 0.1 ist?
>
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt dann ein Kanditat
> durch, der jede Frage mit Wahrscheinlichkeit 0.8 richtig
> beantwortet?
> Hallo,
>
> also zuerst habe ich mal einen Alternativversuch
> aufgestellt (eine Frage beantworten):
> [mm]X~A_{\bruch{1}{3}}, X...Frage richtig, M_X = \{0,1\}, p(1) = \Theta = \bruch{1}{3}, p(0) = 1- \Theta = \bruch{2}{3}[/mm]
>
> diesen will ich nun n-mal durchführen: -->
> Binomialverteilung
>
> [mm]Y~B_{n,\Theta}, Y...Anzahl der Richtigen Fragen, M_Y=\{0,...,n\}, p(x)= \vektor{n \\ x}*\Theta^{x}*(1-\Theta)^{n-x}[/mm]
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> Nun habe ich aber das Problem, wie ich aus der Formel
> p(x)=... das n erhalte:
> [mm]0.1 \ge p(n-1)=\vektor{n \\ n-1}*(\bruch{1}{3})^{n-1}*(\bruch{2}{3})^1 = n * (\bruch{1}{3})^{n-1}*\bruch{2}{3}[/mm]
Hier hast du übersehen, dass man auch bestanden hat, wenn man alle Fragen richtig hat. Also ist n zu finden mit
[mm] $p(n)+p(n-1)\le [/mm] 0.1$ mit
[mm] $p(n)+p(n-1)=\frac{1}{3^n}+n [/mm] * [mm] (\bruch{1}{3})^{n-1}*\bruch{2}{3}=\frac{1}{3^n}+\frac{2n}{3^n}=\frac{2n+1}{3^n}$
[/mm]
Diese Ungleichung lässt sich einfach durch probieren lösen, indem du verschiedene n=1,2,3,... einsetzt, so lange, bis der Bruch [mm] $\le\frac{1}{10}$ [/mm] ist.
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> Wie kann ich diese Gleichung nach n lösen? Oder gibt es
> andere und leichtere Möglichkeiten das n zu bestimmen?
> Ich habe nämlich auch bei ähnlichen Beispielen dasselbe
> Problem...
> Oder ist mein Ansatz falsch?
Nein, das ist schon der richtige Ansatz.
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> Liebe Grüße,
> r2d2
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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