Binom. Lehrsatz und Multiindex < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Di 27.04.2010 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Sei [mm] g:\IR^n \rightarrow \IR [/mm] durch [mm] g(x_1, ...,\x_n)=x^\beta [/mm] für alle [mm] x\in\IR^n [/mm] gegeben, wobei [mm] \beta\in\IN^n [/mm] ein Multiindex ist.
a)Berechne für jeden Multiindex [mm] \alpha\in\IN^n [/mm] die partiellen Ableitungen [mm] \partial_x^\alpha [/mm] g.
b)Beweise durch Entwicklung von g in eine Taylorreihe die Gleichung [mm] (x+y)^\beta=\summe_{\alpha\in\IN^n,~\alpha\leq\beta}\bruch{\beta!}{\alpha!(\beta-\alpha)!}x^\alpha y^{\beta-\alpha} [/mm] |
Hallo,
Den Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst, es ist nämlich für [mm] \alpha\leq\beta ~\partial_x^\alpha [/mm] g= [mm] \bruch{\beta!}{(\beta-\alpha)!}x^{\beta-\alpha} [/mm] und sonst verschwinden die partiellen Ableitungen alle.
zu b) Hier habe ich ein Problem. Ich sehe hier nicht, wie di epartiellen Ableitungen von g helfen sollen, weil doch [mm] x^\beta [/mm] und [mm] (X+y)^\beta [/mm] zwei vollkommen unterschiedliche Funktionen sind.
Die Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt. Ich bin für jede Hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Di 27.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]g:\IR^n \rightarrow \IR[/mm] durch [mm]g(x_1, ...,\x_n)=x^\beta[/mm]
> für alle [mm]x\in\IR^n[/mm] gegeben, wobei [mm]\beta\in\IN^n[/mm] ein
> Multiindex ist.
>
> a)Berechne für jeden Multiindex [mm]\alpha\in\IN^n[/mm] die
> partiellen Ableitungen [mm]\partial_x^\alpha[/mm] g.
>
>
> b)Beweise durch Entwicklung von g in eine Taylorreihe die
> Gleichung
> [mm](x+y)^\beta=\summe_{\alpha\in\IN^n,~\alpha\leq\beta}\bruch{\beta!}{\alpha!(\beta-\alpha)!}x^\alpha y^{\beta-\alpha}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Den Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst, es ist
> nämlich für [mm]\alpha\leq\beta ~\partial_x^\alpha[/mm] g=
> [mm]\bruch{\beta!}{(\beta-\alpha)!}x^{\beta-\alpha}[/mm] und sonst
> verschwinden die partiellen Ableitungen alle.
>
>
> zu b) Hier habe ich ein Problem. Ich sehe hier nicht, wie
> di epartiellen Ableitungen von g helfen sollen, weil doch
> [mm]x^\beta[/mm] und [mm](X+y)^\beta[/mm] zwei vollkommen unterschiedliche
> Funktionen sind.
Es ist doch [mm] $(x+y)^{\beta}= [/mm] g(x+y)$ !!!!!
FRED
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>
> Die Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt. Ich
> bin für jede Hilfe dankbar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:25 Di 27.04.2010 | | Autor: | wee |
Uhh, das stimmt allerdings. Jetzt haben wir die mehrdimensionale Taytorformel allerdings für den Fall wenn man g(x+y) entwickelt unter der Bedingung, dass y in einer Umgebung von x liegt, so dass auch alle ty in der Umgebung liegen, wobei t [mm] \in[0,1] [/mm] liegt.
Auf den Aufgabenblatt steht einfach nur [mm] y\in\IR^n.
[/mm]
Warum kann ich dann die Taylorformel trotzdem anwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Do 29.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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