Binomial- und Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mi 01.06.2011 | | Autor: | XeZZ |
| Aufgabe | Ein Hotel hat 218 Betten. Reservierungen im Hotel werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 annuliert.
Wieviele Reservierungen kann das Hotel annehmen um mit einer 2,5% Sicherheit das Hotel nicht zu überbuchen. |
Heyho,
ich komm bei dieser Aufgabe grade irgendwie absolut nichtmehr weiter. Es gab noch einen Tipp, dass man das an die Normalverteilung approximieren kann und folgende Gleichung:
P(X [mm] \ge [/mm] k) [mm] \approx [/mm] P(Z > [mm] (k-1/2-np)/\wurzel{npq})
[/mm]
das k ist in diesem Fall wohl 219 und mir ist klar, dass P(X [mm] \ge [/mm] 219) [mm] \le [/mm] 0,025 gelten muss und nun n gesucht ist. Ich kann mit der Gleichung dort oben absolut nix anfangen. Ich weiß einfahc nicht was ich nun damit machen soll.
Mein Ansatz mit p = 0,8 und q = 0,2 war erstmal folgender:
1 - [mm] \summe_{k=0}^{218} \vektor{n \\ k} p^{k}q^{n-k} [/mm] <= 0,025
so und das nun nach n auflösen aber das ist mir nicht gelungen geht das überhaupt so eifnach?
mfg
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Hi, XeZZ,
> Ein Hotel hat 218 Betten. Reservierungen im Hotel werden
> mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 annuliert.
> Wieviele Reservierungen kann das Hotel annehmen um mit
> einer 2,5% Sicherheit das Hotel nicht zu überbuchen.
> Heyho,
>
> ich komm bei dieser Aufgabe grade irgendwie absolut
> nichtmehr weiter. Es gab noch einen Tipp, dass man das an
> die Normalverteilung approximieren kann und folgende
> Gleichung:
>
> P(X [mm]\ge[/mm] k) [mm]\approx[/mm] P(Z > [mm](k-1/2-np)/\wurzel{npq})[/mm]
Na, soooo lautet die Formel aber ganz sicher nicht!!
Nehmen wir mal an, P(X [mm] \ge [/mm] k) stehe für die Binomialverteilung.
Dann gilt in der üblichen Schreibweise (mit k = 219):
P(X [mm] \ge [/mm] 219) = 1 - [mm] F_{n; 0,8}(218) \le [/mm] 0,025
bzw. [mm] F_{n; 0,8}(218) \ge [/mm] 0,975
Für die kumulierte Standardnormalverteilung verwendet man meist den Buchstaben [mm] \Phi
[/mm]
Dann würdest Du erst mal folgenden Ansatz in der Formelsammlung finden:
[mm] F_{n; 0,8}(218) \approx \Phi(\bruch{218+0,5-0,8*n}{\wurzel{n*0,8*0,2}}) [/mm] (wobei der Erwartungswert 0,8*n ist!)
Dies musst Du nun in die Ungleichung einsetzen,
dann im Tafelwerk beim Wert 0,975 nachsehen: Ergebnis: 1,960.
Danach musst Du die Ungleichung
[mm] \bruch{218+0,5-0,8*n}{\wurzel{n*0,8*0,2}} \ge [/mm] 1,96
(woraus sich eine quadratische Ungleichung ergibt)
nach n auflösen!
mfG!
Zwerglein
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