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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 So 05.11.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Beweisen Sie
[mm] $\vektor{n-1\\k-1}+\vektor{n-1\\k}=\vektor{n\\k}$
[/mm]
für k>n und k=n |
Hallo.
Der "Beweis für k<n" sieht wie folgt aus, den hatten wir vor gestern auch in der Vorlesung
[mm] $\vektor{n-1\\k-1}+\vektor{n-1\\k}=\br{(n-1)!}{(k-1)!*(n-k)!}+\br{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}$
[/mm]
[mm] $=\br{(n-1)!*k}{(k-1)!*(n-k)!*k}+\br{(n-1)!(n-k)}{k!(n-1-k)!(n-k)}$
[/mm]
[mm] $=\br{(n-1)!*k+(n-1)!(n-k)}{k!(n-k)!}=\br{(n-1)!*(k+n-k)}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \br{n!}{k!(n-k)!}=\vektor{n\\k}$
[/mm]
Die Herleitung ist für mich nachvollziehbar.
Für k=n ändert sich da ja eigentlich gar nichts, nur erhalten wir am Ende das selbe wie n über n, weil ich eben alle Ks durch Ns ersetze.
Für k>n ergibt das ganze Null, weiß ich auch. Aber inwiefern soll ich das beweisen? (n-k)! für k>n ist ja nicht definiert (weil es negativ wird...und davon dann die Fakultät).
Was soll ich da jetzt also beweisen?
wäre schön, wenn mir da jemand helfen könnte.
Dankeschön
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 So 05.11.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Phoney,
für den Binomialkoeffizienten gibt es eine allgemeinere Definition, die auch für k>n gilt.
Siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia: Binomialkoeffizient.
Sonderlich übersichtlich sieht die nicht aus, aber vielleicht hilft das dennoch schon mal weiter.
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Mojn.
> Sonderlich übersichtlich sieht die nicht aus, aber
> vielleicht hilft das dennoch schon mal weiter.
Ne, das hilft mir leider gar nicht.
Ich muss ja die von mir genannte Formel verwenden. Und die Frage war, wo da bitte der Unterschied ist für k>n und k=n. Wie gesagt, das eine hätte ich zu Null vereinfacht und das andere zu 1.
Ich danke dir trotzdem für den lieben Versuch, mir behilflich zu sein.
Gruß
Johann
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Gelegentlich definiert man für ganze Zahlen [mm]k,n[/mm]:
[mm]{n \choose k} = 0[/mm] für [mm]k>n[/mm] oder [mm]k<0[/mm]
Vermutlich liegt diese Definition auch eurer Vorlesung zugrunde. Dann ist aber der Beweis der Formel für die Fälle [mm]k=n[/mm] und [mm]k>n[/mm] eine Trivialität.
Wie sieht denn der Fall [mm]k=n[/mm] aus?
[mm]{{n-1} \choose {n-1}} + {{n-1} \choose n} = {n \choose n}[/mm]
Und um zu sehen, daß das gilt, mußt du nur alle Binomialkoeffizienten ausrechnen. Das ist wirklich billig - du mußt es nur tun!
Und der Fall [mm]k>n[/mm]? Nehmen wir dazu ein Beispiel, und zwar das, wo es gerade zum ersten Mal zutrifft, also [mm]k=n+1[/mm]. Wie sieht denn dann die Gleichung aus?
[mm]{{n-1} \choose {(n+1)-1}} + {{n-1} \choose {n+1}} = {n \choose {n+1}}[/mm]
Und auch diese Gleichung ist offensichtlich wahr, wenn man alle vorkommenden Binomialkoeffizienten nach der Definition berechnet. Und für noch größere [mm]k[/mm] stimmt die Formel erst recht.
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