Binomialkoeffizient < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Do 15.11.2007 | | Autor: | Alex87 |
| Aufgabe | Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften der Binomialkoeffinzienten:
a) [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n-k}
[/mm]
Lösung:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n-k}
[/mm]
[mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!}= \bruch{n!}{(n-k)! (n-(n-k))!}
[/mm]
(n-(n-k))! -> k!
[mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!}
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
b)
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
Lösungansatz:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(k+1)! (n-(k+1))!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{(k+1)! ((n+1)-(k+1))!}
[/mm]
c) Sei k [mm] \in \IN. [/mm] Für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] k gilt
[mm] \summe_{i=o}^{n-k} \vektor{k+i \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu a) ist meine Lösung richtig??
Zu b) Lösungsansatz richtig?
Zu c) muss man hier eine vollständige Induktion durchführen?
Vielen Dank im Vorraus!!
Grüße Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Do 15.11.2007 | | Autor: | max3000 |
3 mal ja.
bei a nimmst du am besten die Rechte Seite, und formst die so, wie du es gemacht hast un die linke um, so dass am Ende dasteht:
[mm] \vektor{n \\ n-k}=...=\vektor{n \\ k}
[/mm]
Bei b ist das ganz klar. Nenner gleichnamig machen und umsortieren.
Bei Aufgabe c wüsst ich jetzt nicht, wie man es anders machen sollte, außer mit Induktion über n.
Im Induktionsschritt musst du eigentlich nur deine Erkenntnisse aus a und b irgendwie anwenden.
Gruß
Max
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