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| Aufgabe | Zeigen Sie für m, n [mm] \in \IN, [/mm] 0 < m [mm] \le [/mm] n mit Hilfe des Binomialkoeffizienten.
[mm] \vektor{ n \\ m } [/mm] + [mm] \vektor{ n \\ m - 1 } [/mm] = [mm] \vektor{ n + 1 \\ m }. [/mm] |
Hi Leute =)
Um obige Aufgabenstellung zu lösen, habe ich erst einmal angefangen alles aufzulösen und komme auf:
[mm] \bruch{n!}{m!(n - m)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(m-1)!(n - (m - 1))!} [/mm] = [mm] \bruch{(n + 1)!}{m!((n + 1) - m)!}
[/mm]
Aus [mm] \bruch{n!}{(m-1)!(n - (m - 1))!} [/mm] habe ich zunächst [mm] \bruch{n!m}{m!(n - (m - 1))!} [/mm] gemacht, daraus dann [mm] \bruch{n!m}{(m!n - m!)m} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{m!(n - m)!}.
[/mm]
Ist das so korrekt, oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?
Mit dem 3. Term bin ich ebenso verfahren.
Komme in der kompletten Gleichung auf: (1. und 2. Term zusammengefasst.)
[mm] \bruch{2(n!)}{m!(n - m)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n + 1)!}{m!(n - m)!}
[/mm]
Ist das soweit korrekt? Falls ja wie kann ich nun weiter rechnen um auf eine plausible Lösung zu kommen?
Danke für Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Mi 19.11.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]\vektor{n \\ m-1}+\vektor{n \\ m} = \vektor{n+1 \\ m} [/mm]
die linke Seite der Gleichung ist
[mm]\bruch{n(n-1)...(n-m+2}{1*2*...*(m-1)} + \bruch{n(n-1)...(n-m+1}{1*2*...*m}[/mm]
klammere hier [mm]\bruch{n(n-1)...(n-m+2}{1*2*...*(m-1)}[/mm] aus:
[mm]\bruch{n(n-1)...(n-m+2}{1*2*...*(m-1)} (1+ \bruch{n-m+1}{m})=
\bruch{n(n-1)...(n-m+2}{1*2*...*(m-1)} * \bruch{n+1}{m} [/mm]
[mm]= \vektor{n+1 \\ m}[/mm]
gruß
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Hmm, danke für keine Antwort, nur leider kann ich deine Rechnung so nicht nachvollziehen...
Wäre eine nähere Erläuterung möglich???
Danke!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Mi 19.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wende mal die Defnition des Binomialkoeffiziernten und der Fakultät an.
Also:
$$ [mm] \green{\vektor{n \\ m-1}}+\blue{\vektor{n \\ m}} [/mm] $$
$$ [mm] =\green{\bruch{n!}{(m-1)!*(n-(m-1))!}}+\green{\bruch{n!}{m!*(n-m)!}} [/mm] $$
$$ [mm] =\green{\bruch{1*2*...*(n-1)*n}{[1*2*3*...*(m-1)]*[1*2*3*...*(n-(m-1)-1)*(n-(m-1))]}}+\green{\bruch{1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*n!}{[1*2**...*(m-1)*m)]*[1*2*...*(n-m-1)*(n-m)]}} [/mm] $$
$$ [mm] =\vdots\text{siehe Loddars Antwort} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{n(n-1)...(n-m+2)}{1*2*...*(m-1)}*\bruch{n+1}{m} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{(n+1)*[n*(n-1)...(n-m+2)}{1*2*...*(m-1)*m} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{(n+1)*[n*(n-1)...(n-m+2)]}{m!} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{(n+1)*[n*(n-1)...(n-m+2)]*\green{(n+1-m)!}}{m!*\green{(n+1-m)!}} [/mm] $$
$$ [mm] =\vdots [/mm] $$
$$ [mm] =\vektor{n+1\\m} [/mm] $$
War es das, was dir fehlte?
Marius
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