Binomialkoeffizient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Es sei [mm] \vektor{n\\k} [/mm] der Binomialkoeffizient, für [mm] k\in [/mm] {0,1,...,n} und [mm] n\in [/mm] N
Zeigen Sie mit Hilfe einer Induktion in n, dass der Binomialkoeffizient eine ganze Zahl ist. |
Also jetzt habe ich angefangen für n n+1 einzusetzten. Dann steht folgendes da:
[mm] \vektor{n+1\\k} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{((n+1)-k)!k!} [/mm] = [mm] \bruch{n!(n+1)}{ (n-k+1)!k!}
[/mm]
Jetzt weiß ich aber nicht weiter. Ich wollte den Bruch so umformen, dass ich den gleichen Bruch wie in der Induktionsvorraussetzung habe und dann einen zweiten Bruch bei dem man "sieht" dass es eine ganze Zahl ist... aber ich weiß nicht weiter bei obigen Bruch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sissenge!
Es gilt:
[mm]\vektor{n+1\\
k}\ = \ \bruch{(n+1)!}{[(n+1)-k]!*k!} \ = \ \bruch{n!*(n+1)}{ (n-k+1)!*k!} \ = \ \bruch{n!*(n+1)}{ (n-k+1)*(n-k)!*k!} \ = \ \bruch{n!}{(n-k)!*k!}*\bruch{n+1}{n-k+1}[/mm]
Der erste Bruch ist gemäß Induktionsvoraussetzung ganzzahlig. Verbleibt also, den 2. Bruch zu untersuchen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Zähler: da [mm] n\in [/mm] N bleibt n+1 immer eine ganze Zahl
Nenner: [mm] n\in [/mm] N und [mm] k\in{0,1,...n} [/mm] darausfolgt, dass n-k+1 immer eine ganze Zahl ist
Aber wie kann ich zeigen, dass der Bruch eine ganze Zahl ist???
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Hallo sissenge,
> Zähler: da [mm]n\in[/mm] N bleibt n+1 immer eine ganze Zahl
Genau. Deswegen ist der Zähler hier eigentlich auch nicht interessant.
> Nenner: [mm]n\in[/mm] N und [mm]k\in{0,1,...n}[/mm] darausfolgt, dass n-k+1
> immer eine ganze Zahl ist
>
> Aber wie kann ich zeigen, dass der Bruch eine ganze Zahl
> ist???
Nur, indem Du nachweist, dass beim Kürzen der Nenner vollständig "wegfällt", also jeder Faktor des Nenners auch im Zähler vorkommt. Das ist beim aktuellen Stand schwierig.
Dürft Ihr folgendes verwenden?
[mm] \vektor{n\\k}+\vektor{n\\k+1}=\vektor{n+1\\k+1}
[/mm]
Damit ist die Behauptung leicht zu zeigen, wenn man noch nachweist, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] auch gilt:
[mm] \vektor{n\\0}=\vektor{n\\n}=1
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Ja das musste ich im letzten Übungsblatt beweisen. Allerdings weiß ich nicht, was ich damit anfangen kann???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mo 29.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Summe von 2 ganzen Zahlen ist wieder ne ganze Zahl!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Aber wie komme ich von [mm] \bruch{n!}{(n-k)!k!}*\bruch{(n+1)}{n-k+1}
[/mm]
Auf das was du mir zur Hifle gegeben hast?????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Das
$ [mm] \vektor{n\\k}+\vektor{n\\k+1}=\vektor{n+1\\k+1} [/mm] $
Damit ist die Behauptung leicht zu zeigen, wenn man noch nachweist, dass für alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $ auch gilt:
$ [mm] \vektor{n\\0}=\vektor{n\\n}=1 [/mm] $
hat reverend Dir geschrieben.
Damit ist
$ [mm] \vektor{n\\k-1}+\vektor{n\\k}=\vektor{n+1\\k} [/mm] $
für 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
Mach Dir noch klar: [mm] \vektor{n+1\\0}= \vektor{n+1\\n+1}=1
[/mm]
FRED
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Guten Abend!
Woher weiß ich, dass [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] eine ganze Zahl ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Guten Abend!
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> Woher weiß ich, dass [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm] eine ganze Zahl
> ist?
Du hast doch den  Binomialkoeffizienten
[mm] {n\choose k-1}=\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-(k-1))!}
[/mm]
Marius
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