Binomialkoeffizient 2.0 < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | | [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR, \IN \exists k_0 \in \IN: k\ge k_o \Rightarrow \vektor{x \\ k} \vektor{x \\ k+1} [/mm] <0 |
Hallo liebe Community,
gestern hatte ich schonmal eine Aufgabe zu den Binomialkoeffizienten gestellt weil mir dieses Thema einfach nicht in den Kopf möchte.
Ich würde mich erstmal über einen Denkanstoß und den ersten Term freuen, damit ich sehen kann wie man diese Bedingungen mathematisch korrekt darstellt.
Vielen Lieben Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR, \IN \exists k_0 \in \IN: k\ge k_o \Rightarrow \vektor{x \\ k} \vektor{x \\ k+1}[/mm]
> <0
> Hallo liebe Community,
>
> gestern hatte ich schonmal eine Aufgabe zu den
> Binomialkoeffizienten gestellt weil mir dieses Thema
> einfach nicht in den Kopf möchte.
>
> Ich würde mich erstmal über einen Denkanstoß und den
> ersten Term freuen, damit ich sehen kann wie man diese
> Bedingungen mathematisch korrekt darstellt.
Du kannst
${x [mm] \choose k}=\frac{\produkt_{n=1}^k (x+1-n)}{k!}=\frac{\overbrace{(x\red{\,+1\,-1})*(x-1)*...*(x+1-k)}^{k \text{ Faktoren}}}{k!}$
[/mm]
schreiben.
Bspw.
[mm] ${\pi \choose 4}=\frac{\pi*(\pi-1)*(\pi-2)*(pi-4)}{4!}\,.$
[/mm]
Tipp zur Aufgabe (Wink mit dem Zaunpfahl):
Schau Dir oben mal
[mm] ${\pi \choose \lfloor \pi \rfloor+1}$
[/mm]
an - und dann, was passiert, wenn Du [mm] $\lfloor \pi \rfloor+1$ [/mm] durch [mm] $\lfloor \pi \rfloor [/mm] +2$ ersetzt!
P.S. Achtung:
Es ist
[mm] ${\pi \choose 5} [/mm] < [mm] 0\,$
[/mm]
aber es ist
[mm] ${\pi \choose 6} [/mm] > [mm] 0\,,$
[/mm]
denn beachte: In [mm] ${\pi \choose 5}$ [/mm] kommt (nur der Zähler ist vom Vorzeichen her
eigentlich interessant) genau ein negativer Faktor drin vor, in [mm] ${\pi \choose 6}$ [/mm] sind
es derer aber zwei.
Derartige Überlegungen kannst Du dann allgemein führen!
P.P.S. Ob's wirklich notwendig ist, weiß ich nicht, aber alleine schon, um den
Überblick zu behalten, kann man vielleicht die Fälle $x [mm] \ge [/mm] 0$ und $x < [mm] 0\,$ [/mm] getrennt
behandeln!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Skyrula |
Wow, vielen Dank für die schnelle Antwort! Ich muss mir jetzt erstmal Zeit nehmen das alles zu verstehen und weiter zu führen.
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Skyrula |
Die Annahme macht mir grade zu schaffen, dass heißt das ich mir nicht sicher bin was ich eigentlich beweisen muss.
wenn ich die Annahme mal übersetzen würde käme bei mir folgendes raus:
Für alle x Element der reellen Zahlen ohne die natürlichen Zahlen existiert ein
[mm] k_0 [/mm] Element der Natürlichen zahlen, wo k [mm] \ge k_0 [/mm] ist. Das verwirrt mich grade sehr.
Könnte mir einer das nochmal näher bringen?
Dankeschön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Annahme macht mir grade zu schaffen, dass heißt das
> ich mir nicht sicher bin was ich eigentlich beweisen muss.
>
> wenn ich die Annahme mal übersetzen würde käme bei mir
> folgendes raus:
>
> Für alle x Element der reellen Zahlen ohne die
> natürlichen Zahlen existiert ein
> [mm]k_0[/mm] Element der Natürlichen zahlen, wo k [mm]\ge k_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist. Das
> verwirrt mich grade sehr.
>
> Könnte mir einer das nochmal näher bringen?
ne, Du hast zu zeigen:
Für jede reelle Zahl $x\,,$ die keine natürliche ist, gibt es eine natürliche Zahl
$k_0$ so, dass FÜR ALLE (natürlichen) $k \ge k_0$
${x \choose k}*{x \choose k+1} < 0$
gilt.
Anders gesagt:
Der rotmarkierte Teil
$ \forall $ x $ \in \IR\setminus \IN \exists k_0 \in \IN: \red{k\ge k_o \Rightarrow \vektor{x \\ k} \vektor{x \\ k+1} <0}$
ist zu lesen als:
"Wenn (auch nur) $k \ge k_0$, so folgt (schon) ${x \choose k}*{x \choose k+1}<0\,.$"
Du kannst auch schreiben:
$ \forall $ x $ \in \IR\setminus \IN \exists k_0=k_0(x) \in \IN:$ $\forall k \in \IN \text{ mit }k\ge k_0 \colon\vektor{x \\ k} \vektor{x \\ k+1} <0}$
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Skyrula |
Ist denn dieser Teil [mm] \vektor{x \\ k+1} [/mm] schon in deinem Tipp mit drin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist denn dieser Teil [mm]\vektor{x \\ k+1}[/mm] schon in deinem
> Tipp mit drin?
ich verstehe die Frage nicht. "Ein kleinstes" (natürliches) [mm] $k_0$ [/mm] edit: (für
$x [mm] \ge [/mm] 0$ aus [mm] $\IR \setminus \IN$ [/mm] jedenfalls) mit
${n [mm] \choose k_0}*{n \choose k_0+1} [/mm] < 0$
scheint doch
[mm] $k_0:=\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor [/mm] +1$
zu sein:
Denn während dann noch
${x [mm] \choose k_0}={x \choose \lfloor x \rfloor+1} [/mm] > 0$
gilt, wird
${x [mm] \choose k_0+1}={x \choose \lfloor x \rfloor+2} [/mm] < 0$
sein.
Vielleicht gilt mit diesem ja schon auch
[mm] $\red{\forall}$ $\red{k \ge k_0}$: [/mm] ${n [mm] \choose [/mm] k}*{n [mm] \choose [/mm] k+1}<0$
??
Nebenbei: Man kann hier durchaus auch einen Induktionsbeweis versuchen
(ich halte ihn aber eigentlich für überflüssig).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Skyrula |
Es ist wichtig, das meine Lösung mathematisch korrekt ausgedrückt sind, da ich letztel mal einen dicken Punktabzug bekommen habe weil meine Aufgabe logisch zwar richtig war, mathematisch aber vollkommen falsch aufgeschrieben wurde. Meine Aufgabe ist ja bekannt:
[mm] \forall x\in \IR [/mm] \ [mm] \IN \exists k_0 \in \IN [/mm] : [mm] k\ge k_0 \rightarrow \vektor{x \\ k} \vektor{x \\ k+1}<0
[/mm]
Das kleinst mögliche k [mm] \in \IN [/mm] \ 0 ist 1 [mm] \rightarrow k_0 \hat= [/mm] x+1 mit x [mm] \in \IR [/mm]
[mm] \rightarrow \vektor{x \\ k_0}=\vektor{x \\ x+1}>0 [/mm] und [mm] \vektor{x \\ k_0+1}=\vektor{x \\ x+2}<0
[/mm]
[mm] \rightarrow \forall x\in \IR [/mm] \ [mm] \IN \exists k_0\in \IN [/mm] : [mm] k_0>k
[/mm]
Damit währe ich fertig.
Ist das die Lösung? Ist das überhaupt eine Lösung? Ich verstehe nicht genau ob die Annahme aus der Aufgabe damit bestätigt wird.
Danke schonmal für die aufgebrachte Hilfe und für die die noch kommen wird!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es ist wichtig, das meine Lösung mathematisch korrekt
> ausgedrückt sind, da ich letztel mal einen dicken
> Punktabzug bekommen habe weil meine Aufgabe logisch zwar
> richtig war, mathematisch aber vollkommen falsch
> aufgeschrieben wurde. Meine Aufgabe ist ja bekannt:
>
> [mm]\forall x\in \IR[/mm] \ [mm]\IN \exists k_0 \in \IN[/mm] : [mm]k\ge k_0 \rightarrow \vektor{x \\ k} \vektor{x \\ k+1}<0[/mm]
>
> Das kleinst mögliche
das war nur ein Hinweis von mir - und er ist auch nur halb korrekt. Denke
nochmal über die zu beweisende Aussage nach, was ist, wenn $x < [mm] 0\,$ [/mm] ist!
> k [mm]\in \IN[/mm] \ 0 ist 1 [mm]\rightarrow k_0 \hat=[/mm]
> x+1 mit x [mm]\in \IR[/mm]
Was soll [mm] $k_0$ $\hat{=}$ $x+1\,$ [/mm] bedeuten?
> [mm]\rightarrow \vektor{x \\ k_0}=\vektor{x \\ x+1}>0[/mm] und
> [mm]\vektor{x \\ k_0+1}=\vektor{x \\ x+2}<0[/mm]
> [mm]\rightarrow \forall x\in \IR[/mm]
> \ [mm]\IN \exists k_0\in \IN[/mm] : [mm]k_0>k[/mm]
Das macht logisch keinen Sinn mehr. Du sagst, weil Du ein [mm] $k_0 \in \IN$ [/mm] gefunden hast,
dass
${x [mm] \choose k_0}*{x \choose k_0+1} [/mm] < 0$
erfüllt, gilt [mm] $k_0 [/mm] > k$???
Nebenbei: Du hast bislang noch nicht mal begründet, dass
${x [mm] \choose k_0}*{x \choose k_0+1} [/mm] < 0$
gilt.
(Beachte: Du stellst oben nur Behauptungen über das Vorzeichen von
${x [mm] \choose k_0}$ [/mm] und ${x [mm] \choose k_0+1}$
[/mm]
auf! Wo ist der zugehörige Beweis?)
Aber selbst, wenn Du das nachholst (ich mache das gleich nochmal!):
Es muss auch irgendwie klar werden, dass auch
${x [mm] \choose [/mm] k}*{x [mm] \choose [/mm] k+1} < 0$
für alle (natürlichen) $k [mm] \ge k_0$ [/mm] gilt.
> Damit währe ich fertig.
Nein, maximal, dass
${x [mm] \choose [/mm] k}*{x [mm] \choose [/mm] k+1} < 0$
für [mm] $k=k_0$ [/mm] gilt!
> Ist das die Lösung? Ist das überhaupt eine Lösung? Ich
> verstehe nicht genau ob die Annahme aus der Aufgabe damit
> bestätigt wird.
>
> Danke schonmal für die aufgebrachte Hilfe und für die die
> noch kommen wird!
Aus Deiner "Lösung" werde ich nicht wirklich schlau. Dass ich bei dem Hinweis
oben den Fall $x < [mm] 0\,$ [/mm] nicht beachtet habe, nehme ich auf meine Kappe.
Aber ansonsten:
Sei zunächst mal $x [mm] \ge 0\,$ [/mm] und $x [mm] \notin \IN$ [/mm] (bei Euch ist vermutlich $0 [mm] \in \IN$). [/mm]
Dir ist klar, was
[mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor=\max\{z \in \IZ\mid z \le x\}$
[/mm]
überhaupt ist, oder? (Ansonsten such nach "Gaußklammer"!)
Setze
[mm] $k_0:=\lfloor x\rfloor +1\,.$
[/mm]
Dann ist (mit einer kleinen Umformung!)
[mm] $k_0!*{x \choose k_0}=\produkt_{n=1}^{k_0} (x+1-n)\,.$
[/mm]
Die rechte Seite ist $> [mm] 0\,,$ [/mm] weil alle Faktoren des Produkts $> [mm] 0\,$ [/mm] sind, der
kleinste Faktor ist ja
[mm] $x+1-k_0=x+1-(\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor +1)=x-\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor\,.$
[/mm]
(Der entsteht, wenn man in $x+1-n$ dort [mm] $n=k_0$ [/mm] setzt - ist Dir das klar?)
Damit ist
[mm] $x+1-k_0=x-\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor \in ]0,\,1[$ [/mm]
wegen $x [mm] \notin \IZ\,.$
[/mm]
Frage an Dich: Warum ist
[mm] $(k_0+1)!*{x \choose k_0+1} [/mm] < 0$
(und damit auch ${x [mm] \choose k_0+1}< [/mm] 0$)?
Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ und $x [mm] \notin \IN$ [/mm] (mit hier $0 [mm] \in \IN$) [/mm] haben wir so also ein ("kleinstes")
[mm] $k_0 \in \IN$ [/mm] mit
${x [mm] \choose k_0}*{x \choose k_0+1} [/mm] < 0$
gefunden. Es bleibt dann aber noch zu zeigen, dass dann auch für alle
natürlichen Zahlen [mm] $k\,$ [/mm] mit $k [mm] \ge k_0$
[/mm]
${x [mm] \choose [/mm] k}*{x [mm] \choose [/mm] k+1} < 0$
gilt.
Grobe Beweisskizze:
[mm] $\bullet$ $\underbrace{{x \choose k_0}}_{> 0}*\underbrace{{x \choose k_0+1}}_{< 0} [/mm] < 0$ (im Zähler des Faktors linkerhand stehen nur positive Faktoren,
der Nenner ist eh positiv; im Zähler des rechten Faktors stehen neben
positiven Faktoren genau ein negativer, der Nenner ist eh positiv)
[mm] $\bullet$ $\underbrace{{x \choose k_0+1}}_{< 0}*\underbrace{{x \choose k_0+2}}_{> 0} [/mm] < 0$ (im Zähler des Faktors linkerhand stehen neben positiven Faktoren
genau ein negativer, der Nenner ist eh positiv; im Zähler des rechten Faktors stehen neben
positiven Faktoren genau zwei negative, der Nenner ist eh positiv)
[mm] $\bullet$ $\underbrace{{x \choose k_0+2}}_{> 0}*\underbrace{{x \choose k_0+3}}_{< 0} [/mm] < 0$ (im Zähler des Faktors linkerhand stehen neben
positiven Faktoren genau zwei negative, der Nenner ist eh positiv; im Zähler des
rechten Faktors stehen neben positiven Faktoren genau drei negative, der Nenner ist eh positiv)
.
.
.
Und, wie gesagt:
Den Fall $x < 0$ solltest Du auch noch untersuchen - der ist aber schnell
abgehandelt! (Dabei darf auch $x [mm] \in \IZ \cap ]-\infty,\,-1]$ [/mm] sein!)
P.S. Nur nochmal zur Erinnerung: Der Zähler von
${r [mm] \choose [/mm] m}$
ist
[mm] $\produkt_{n=1}^m (r+1-n)\,.$
[/mm]
P.P.S. Mache Dir die Strategie hier mal mit wenigstens zwei Beispielen
klar, etwa
[mm] $x=\pi$
[/mm]
und danach dann meinetwegen mit
[mm] $x=7,12323\,.$
[/mm]
Wie trivial der Fall $x < 0$ eigentlich ist, solltest Du schon durch Betrachten
von [mm] $x=-1/2\,$ [/mm] sehen...
Gruß,
Marcel
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