Binomialkoeffizient umformung < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mi 12.11.2008 | | Autor: | druse |
| Aufgabe | [mm] \vektor{n \\ k}=\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}
[/mm]
Es soll durch algebraische Termumformung gezeigt werden, dass die gleichung stimmt, also die rechnte seite zu n über k wird. |
Wie kann ich hier umformen? Falls jemand eine fertige Umformung hat, wäre ich über einen link sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\vektor{n \\ k}=\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}[/mm]
> Es
> soll durch algebraische Termumformung gezeigt werden, dass
> die gleichung stimmt, also die rechnte seite zu n über k
> wird.
> Wie kann ich hier umformen? Falls jemand eine fertige
> Umformung hat, wäre ich über einen link sehr dankbar!
folgender Tipp:
Zunächst gilt
[mm] $$(\star_1)\;\;\;{n-1 \choose k-1}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!*((n-1)-(k-1))!}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\,,$$
[/mm]
[mm] $$(\star_2)\;\;\;{n-1 \choose k}=\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}\,.$$
[/mm]
Weiter ist [mm] $(\star)\;\;\;{n \choose k}=\blue{\frac{n!}{k!(n-k)!}}\,.$
[/mm]
Starte also mit
$${n-1 [mm] \choose [/mm] k-1}+{n-1 [mm] \choose k}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}\,.$$
[/mm]
Bringe mal die beiden letzten Summanden auf den Nenner, den Du in [mm] $(\star)$ [/mm] rechterhand siehst. (Dazu erweitere in [mm] $(\star_1)$ [/mm] den Bruch ganz rechts mit [mm] $\black{k}\,,$ [/mm] und in [mm] $(\star_2)$ [/mm] den Bruch mit [mm] $n-k\,.$ [/mm] Danach beachte $n!=n*(n-1)!$.)
Ich habe Dir jetzt quasi eine Anleitung für den kompletten Beweis gegeben. Solltest Du dennoch der Meinung sein, dass das nicht ausreichend ist:
![[]](/images/popup.gif) Satz 2.11 hier. Beachte allerdings, dass die Formulierung da ein wenig zu Deiner variiert (anstelle des [mm] $\black{n}$'s [/mm] in Deiner Formulierung steht dort [mm] $\black{n}+1$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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