Binomialkoeffizienten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Do 10.03.2005 | | Autor: | maria |
Hallo erstmal!!! Viele Gruesse aus Sofia. Ich sitz hier in der Studentenstadt in einem Internetcafe und versuche mich an Analysis, da ich noch eine Pruefung schreiben muss. Ich habe ziemliche Schwierigkeiten mit den Binominalkoeffizienten. Bei mehreren Beweisen bleib ich stecken. Ich werd jetzt nicht alle Beweise aufschreiben, sondern nur die Stellen, an denen ich nicht weiterkomme. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.
Der erste Beweis ist: [mm] \vektor{x+1 \\ n}=\vektor{x \\ n}+\vektor{x \\ n-1}. [/mm] Das haben wir mit vollstaendiger Induktion geloest. Bis an die Stelle wo die Induktionsvorraussetzung eingesetzt wird verstehe ich noch alles, aber dann kann ich nicht mehr nachvollziehen wie man auf folgende gleichungen kommt: ( [mm] \vektor{x \\ n}+\vektor{x \\ n-1} )*\bruch{x+1-n}{n+1}=\vektor{x \\ n-1}*\bruch{x+1}{n+1}*\bruch{x+1-n}{n+1} [/mm] bzw. darauf: [mm] \vektor{x \\ n}*\bruch{x+1}{n+1}=\vektor{x \\ n}+\vektor{x \\ n}*( \bruch{x+1}{n+1}-1 [/mm] ). Auch das verstehe ich nicht: [mm] \vektor{x \\ n-1}*\bruch{x+1-n}{n}= \vektor{x \\ n}.
[/mm]
Bei dem Beweis, dass [mm] \vektor{x \\ n}= \vektor{x-1 \\ n-1}*\bruch{x}{n} [/mm] gilt, komm ich an folgender Stelle nicht weiter [mm] \vektor{x-1 \\ n-1}*\bruch{x-n}{n}= \vektor{x-1 \\ n} [/mm] und an dieser Stelle: [mm] \vektor{x-1 \\ n}*\bruch{x}{n+1}=\vektor{x \\ n}+\vektor{x \\ n-1}=\vektor{x \\ n-1}*\bruch{x-(n-1)}{n}Auch [/mm] mit dem Beweis des Binomischen Lehrsatzes hab ich Probleme. Nachdem man die Induktionsvorraussetzung eingesetzt hat gehts bei mir irgendwie nich mehr weiter. Auf dieser Seite wird der Beweis gefuehrt: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs7/seite31.html
Die ersten zwei Zeilen sind OK, aber dann hoert mein Gehirn irgendwie auf :-(
Hier sind die Formeln, die ich ueber Binomialkoeffizienten kenne:
[mm] \vektor{n \\ 0}=1 [/mm]
[mm] \vektor{n \\ n}=1 [/mm]
[mm] \vektor{n \\ n+1}=0 [/mm]
[mm] \vektor{n \\ 1}=n
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ n+1}=\vektor{x \\ n}*\bruch{x-n}{n+1} [/mm]
[mm] \vektor{x+1 \\ n+1}= \vektor{x \\ n}+ \vektor{x \\ n+1} [/mm]
[mm] \vektor{x+1 \\ n}= \vektor{x \\ n}+\vektor{x \\ n-1} [/mm]
[mm] \vektor{x \\ n}= \vektor{x \\ x-n}
[/mm]
Ich wuerde mich sehr freuen, wenn mir jemand die Gleichungen erklaeren kann. Im Moment bereitet mir das naemlich noch ziemliche Kopfschmerzen :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Do 10.03.2005 | | Autor: | Max |
Ich bin mir nicht sicher ob du mit der vollständigen Induktion zu schwere Geschütze auffährst, du kannst doch einfach die Gleichheit direkt durch
${n [mm] \choose k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$
[/mm]
zeigen. Demnach gilt:
${ x+1 [mm] \choose [/mm] n} = {x [mm] \choose [/mm] n} + {x [mm] \choose [/mm] n-1}$
[mm] $\gdw \frac{(x+1)!}{(x+1-n)!\cdot n!} [/mm] = [mm] \frac{x!}{(x-n)!\cdot n!} [/mm] + [mm] \frac{x!}{(x-n+1)!\cdot (n-1)!}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{(x+1)!}{(x-n+1)!\cdot n!} [/mm] = [mm] \frac{x!\cdot (x-n+1)}{(x-n+1)!\cdot n!} [/mm] + [mm] \frac{x!\cdot n}{(x-n+1)!\cdot n!}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{(x+1)!}{(x-n+1)!\cdot n!} [/mm] = [mm] \frac{x!\cdot (x-n+1)+x!\cdot n}{(x-n+1)!\cdot n!}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{(x+1)!}{(x-n+1)!\cdot n!} [/mm] = [mm] \frac{x!\cdot \left(x-n+1+ n\right)}{(x-n+1)!\cdot n!}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{(x+1)!}{(x-n+1)!\cdot n!} [/mm] = [mm] \frac{x!\cdot (x+1)}{(x-n+1)!\cdot n!}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{(x+1)!}{(x-n+1)!\cdot n!} [/mm] = [mm] \frac{(x+1)!}{(x-n+1)!\cdot n!} [/mm] $
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Fr 11.03.2005 | | Autor: | maria |
Hallo Brackhaus,
danke fuer die Antwort. So wie du mir das aufgeschrieben hast, ist das sehr verstaendlich, sogar fuer mich  Aber ich glaube, dass man bei diesen Beweisen $ {n [mm] \choose k}=\frac{n!}{(n-k)!k!} [/mm] $ nicht benutzen darf, es sei denn man hat das vorher bewiesen. Tschuldigung, dass hab ich vorher nicht gesagt, mein Fehler. Auf dem Aufgabenzettel wurde nur das vorher definiert: [mm] \vektor{x \\ n+1}=\vektor{x \\ n}\cdot{}\bruch{x-n}{n+1}. [/mm] Ich weiss aber auch nicht genau, ob ich nun noch mehr verwenden darf. Ich glaube aber an der vollstaendigen Induktion komm ich nicht drumrum :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Fr 11.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Loddar
Man möchte ${x [mm] \choose [/mm] k}$ auch für nicht ganzzahlige x definieren, dann kann
man die Formel mit den Fakultäten nicht mehr verwenden (ich weiss nicht ob die Gamma-Funktion an dieser Stelle hilft).
Dann definiert man ${x [mm] \choose [/mm] k}$ anders, denn es gilt ja auch:
${n [mm] \choose k}=\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!}$ [/mm] und diese Definition lässt sich problemlos auf nicht ganzzahlige x und nichtnegative ganzzahlige k verallgemeinern:
${x [mm] \choose k}=\frac{x(x-1)\dots(x-(k-1))}{k!}$.
[/mm]
Der Witz an der Sache: Der Binomische Lehrsatz [mm] $(1+a)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^k$ [/mm] lässt sich zur Binomialreihe
[mm] $(1+a)^x=\sum_{k=0}^\infty {x\choose k}a^k$ [/mm]
verallgemeinern, wobei man noch die Voraussetzungen $-1<a<1$ einbauen muss, damit die unendliche Reihe konvergiert.
Beachte auch, dass für x ganzzahlig positiv [mm] $(1+a)^x=\sum_{k=0}^\infty {x\choose k}a^k=\sum_{k=0}^x {x\choose k}a^k$ [/mm] gilt, da die Bionmialkoeffizient ${x [mm] \choose [/mm] k}$ für k>x nach der verallgemeinerten Definition alle gleich 0 sind.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Fr 11.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Maria
Ich würde das ganze so anpacken (ohne Induktion).
Ich gehe von folgender Definition aus: [mm] ${x\choose n}=\frac{x(x-1)\dots(x-(n-1))}{n!}$. [/mm] Wenn die du nicht kennst, kannst du sie mit vollständiger Induktion Beweisen. Es ist eine direkte Konsequenz aus
[mm] ${x\choose 0}=1$ [/mm] und [mm] ${x\choose n+1}={x\choose n}\frac{x-n}{n+1}$ [/mm] (die letzten beiden Formeln kann man als rekursive Definition der Binomialkoeffizienten im verallgemeinerten Sinn ansehen, siehe auch meine Mitteilung an Loddar).
[mm] ${x\choose n-1}+{x\choose n} =\frac{x(x-1)\dots(x-n+2)}{(n-1)!}+\frac{x(x-1)\dots(x-n+1)}{n!}$
[/mm]
ich habe die Definitionen eingesetzt, jetzt macht man gleichnamig, in dem man den ersten Bruch mit n erweitert
[mm] $=\frac{x(x-1)\dots(x-n+2)n}{n!}+\frac{x(x-1)\dots(x-n+1)}{n!}=\frac{x(x-1)\dots(x-n+2)}{n!}(n+(x-n+1))$
[/mm]
ich habe gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner ausgeklammert
[mm] $=\frac{x(x-1)\dots(x-n+2)}{n!}(x+1)=\frac{(x+1)x(x-1)\dots(x-n+2)}{n!}={x+1\choose n}$
[/mm]
der Rest sollte nun klar sein.
mfG Moudi
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
Binomialkoeffizienten