Binomialmethode, Put-Option < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine amerikanische Put-Option auf eine Aktie, die heute 100 € Wert istAusübungspreis möge 100€ sein und die Verfallszeit 5 Monate. Der Risikofreie Zinssatz liegt bei 10% und die Volatilität bei 40%. Betrachte die Binomialmethode mit 5 Zeitschritten der länge 1 Monat und Löse die folgende Aufgabe:
Berechne für i=1,...,5 die möglichen aktienkurse Sji für j= 0,...,i. Ermittle dabei zuerst für i= 1,...,5 die Kurse S0i und Sii und schließe daraus unter verwendung einer mathematischen Argumentation unmittelbar die Kurse Sji für i=1,..,5 und j= 1,...,i-1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir fehlt input um diese Aufgabe zu lösen, deshalb weiß ich nicht wo ich Ansetzen kann. kennt jemand für diese Aufgabe die passende Formel? Oder kann mir jemand ein gutes Buch empfehlen, das zudem leicht verständlich ist?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 So 29.12.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
die Binomialmethode wird auch als Cox-Ross-Rubinstein-Methode bezeichnet. Eine Formel wird hier nicht viel helfen. Wichtig ist das Verständnis des Rechenweges. Er wird für die europäische Option nach meiner Auffassung gut beschrieben bei Thomas Heidorn Finanzmathematik in der Bankpraxis - Vom Zins zur Option oder auch bei Andreas Pfeifer Praktische Finanzmathematik, wobei ich die zuerst genannten Ausführungen als verständlicher ansehe. Der Unterschied zwischen europäischer und amerikanischer Option besteht darin, daß die europäische nur zum Laufzeitende der Option ausgeübt werden kann, die amerikanische dagegen jederzeit. Heidorn behandelt auch die Unterschiede bei der Bewertung - er bezeichnet sie als geringer als man erwarten könnte - und legt dar, daß der Wert eines Puts nie größer sein kann als der abgezinste Ausübungspreis. Inbesondere bei einem Preis der Aktie von Null (Insolvenzfall) kann die sofortige Ausübung des Puts sinnvoll sein.
Für die Berechnung, wie sie in der Aufgabe verlangt ist, ist aber genauso vorzugehen wie bei der europäischen Option.
Ohne die Beschreibung von Heidorn hier wiederzugeben, sei nur kurz gesagt: Aufgrund der gegebenen Volatilität können die Aktienkurse am Ende jedes Monats ermittelt werden und für den letzten Zeitpunkt der Wert der Option aus der Differenz von Ausübungspreis minus Aktienkurs. Ist diese positiv, ist das der Wert der Option. Unter Berücksichtung der Wahrscheinlichkeit des Fallens bzw. Steigens der Kurse und der Abzinsung kann dann der Wert rückwärts nach 4, 3, 2 und 1 Monaten bestimmt werden.
Gruß
Staffan
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Vielen Dank erst mal.
Ich habe das Buch vom Pfeifer zur Hand (2.Auflage 2000) auf S. 261, Satz 8.2.1 wird die Formel für den fairen Preis (ist das gleichzusetzen mit "was kostet die Option? Ist damit "faire Preis" gemeint). dort ist von einem X= Basispreis die rede... Diesen habe ich in der Aufgabenstellung nicht... Kann dieser durch die angaben ausgerechnet werden? Wenn ja, wie? Oder kann ich für X=0 einsetzen...
Ich habe ein Skript im Netz gefunden und dort steht nichts über N(d1) oder N(d2) = Wert der Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung an der stelle d1 bzw. d2. Auch ist von keinen X= Basispreis die Rede... Gibt es verschiedene Methoden?
Hier ein link zum Skript welches ich fand:
http://www.math.uni-frankfurt.de/~baumeist/n-shell.pdf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
ich habe hier die 4. Auflage von 2006, dort wird das Problem in Kapitel 10.4 behandelt. Ich hoffe, ich kann trotzdem die Fragen beantworten.
> Vielen Dank erst mal.
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> Ich habe das Buch vom Pfeifer zur Hand (2.Auflage 2000) auf
> S. 261, Satz 8.2.1 wird die Formel für den fairen Preis
> (ist das gleichzusetzen mit "was kostet die Option?
Genau das ist gemeint. Denn die Berechnungen setzen immer einen arbitragefreien Markt voraus.
Ist
> damit "faire Preis" gemeint). dort ist von einem X=
> Basispreis die rede... Diesen habe ich in der
> Aufgabenstellung nicht... Kann dieser durch die angaben
> ausgerechnet werden? Wenn ja, wie? Oder kann ich für X=0
> einsetzen...
Mit Basispreis ist der in der Aufgabe genannte Ausübungspreis (oft auch Strikeprice) gemeint; die Terminologie ist nicht immer einheitlich.
>
> Ich habe ein Skript im Netz gefunden und dort steht nichts
> über N(d1) oder N(d2) = Wert der Verteilungsfunktion der
> Standard-Normalverteilung an der stelle d1 bzw. d2. Auch
> ist von keinen X= Basispreis die Rede... Gibt es
> verschiedene Methoden?
> Hier ein link zum Skript welches ich fand:
>
> http://www.math.uni-frankfurt.de/~baumeist/n-shell.pdf
Die Standard-Normalverteilung und damit N(d1) oder N(d2) spielen beim Binomialmodell keine Rolle; sie sind von Bedeutung bei dem zweiten in der Praxis eher angewandten Black/Scholes-Modell. Pfeifer stellt auch beide Modelle getrennt dar (jedenfalls in der 4. Auflage) und bezieht sich auf N nur beim zweiten Modell.
In dem Script wird das Binomialmodell ab S. 29 dementsprechend zutreffend ohne Hinweis auf die oder Verwendung der Nominalverteilung erläutert. Auf S. 36 wird gezeigt, wie der Binomialkoeffizient (daher der Name des Modells) zur Anwendung kommt.
Gruß
Staffan
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Hallo,
Danke Dir. Leider ist in der Auflage die ich habe alles sehr komprimiert dargestellt. Das Buch hat auch nur 8 Kapitel. Du hast eine deutlich verständlichere Auflage, ich werde mich am Montag auf die Suche machen.
Ich habe aber ein tolles Video auf englisch gefunden. Und werde jetzt mit dem Skript auch versuchen weiterzukommen.
Auf Seite 39 des Skriptes wird n als Baumtiefe beschrieben.Beträgt diese 4?
[mm] \Delta [/mm] t = T /n... Die gegebene Option hat eine Verfallszeit von 5 Monate... also ist n=4 (weil der Startpreis, nicht berechnet werden muss?) und wegen "Betrachten Sie die Binomialmethode mit 5 Zeitschritten der Länge 1 Monat, t=5 Monate) also [mm] \Delta [/mm] = 5/4? Oder habe ich hier ein Denkfehler?
Hab eine neue Überlegung. Baumtiefe =n... Das heißt, dass n=5 ist oder? und T= 5 Monate... also [mm] \Delta [/mm] t= 1... und das bezieht sich auf den abstand zwischen den "Baumzweigen"... Heißt das Mein Baum hat am Ende 32 Äste?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 So 05.01.2014 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
Du willst den Preis der Option per heute berechnen; d.h. das ist der Ausgangspunkt Deines Baums mit dem aktuellen Preis der Aktie =100. Betrachtet werden soll die Entwicklung monatsweise bis zur Fälligkeit der Option nach 5 Monaten, also zum Zeitpunkt nach einem Monat zunächst mit der Entwicklung der Aktie unter der gegebenen Volatilität von 40%, somit 140 und 60, dann nach zwei Monaten mit den Ergebnissen 196, 84 und 36 (das Fallen des Kurses um 40% aus 140 ist mit dem Steigen des Kurses aus 60 identisch), usw. für den Zeitpunkt nach 3, 5 und 5 Monaten. Ich habe am Ende 10 Äste und 6 Ergebnisse. Ich schlage vor, daß Du den Baum zunächst einfach aufzeichnest und die Werte einträgst.
Nach dem Script ist T die Laufzeit von 5 (Monaten) und n ebenfalls 5, weil jeder Monat der Entwicklung, also später als heute, betrachtet werden soll. Und [mm] $\Delta [/mm] t$ ist der Abstand zwischen den Verzweigungen.
Gruß
Staffan
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Hi,
"Baum" erfolgreich gefüllt  . Es sind doch nur 6 Ergebnisse am Ende (Zum Zeitpunkt n=5).
Nun habe ich wie im Skript auf S.39 steht, jeden möglichen Aktienkurs berechnet.
Unter Aufgabe 1 steht, wir sollen die Möglichen Aktienkurse berechnen, gut erledigt.
Aber was ist gemeint mit " Ermittle zuerst für i=1,...,5 die Kurse [mm] S^{0,i} [/mm] und [mm] S^{j.i} [/mm] und schließe daraus unter Verwendung einer mathematischen Argumentation unmittelbar auf die Kurse [mm] S^{j.i} [/mm] für i=2,...,5 und j=1,...,i-1 ?
nun ja ich arbeite mit dem Skript den ich dir zeigte, so ist i bei mir n
Ich habe es nach n (oder i) unterteilt, sprich für jeden Zeitabschnitt von 1 bis 5 die [mm] S^{j.i} [/mm] berechnet. und somit mein Baum vervollständigt.
Für [mm] S^{5,5} [/mm] habe ich Beispielsweise stehen:
[mm] S^{5,5} [/mm] = [mm] u^{5} [/mm] * [mm] d^{0} [/mm] * [mm] S_{0} [/mm]
Was ist mit "mathematische argumentation gemeint"? Wie ich daraus schliesse das die ups and downs zusammen gefasst werden? Um bei den genannten Beispiel zu Bleiben: ich folge 5x den up Zweig und gehe dabei kein mal runter... Falls ja... So etwas kann ich nur in Worte darstellen...
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Nun habe ich erfolgreich den Preis der Option berechnet unter Betrachtung von "value of early exercise".
Nun soll ich alle Knoten des Baumes angeben, an denen es Sinnvoll ist die Option auszüüben.
Hm, ich abeite mit "Value of early exercixe", sonst hätte ich behautet es wäre super sie immer auszuüben wenn der Stockprice kleiner als der Strikeprice wäre... Jetzt hab ich ein verständnisproblem :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 So 05.01.2014 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
Deine Annahme, die Option auszuüben, wenn der Strikeprice über dem Stockprice liegt, ist völlig richtig. Soweit ich das mit der value of early exercise verstanden habe, handelt es sich doch um ein zusätzliches Premium, das aber für die grundsätzliche Frage ohne Bedeutung ist.
Gruß
Staffan
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Ach so ein M...,n da ich später abzinse, muss ich von Beginn mit 1/12 rechnen oder? Oder kann ich den einen Baum weg (also richtung [mm] S_{i,j} [/mm] mit [mm] \Delta [/mm] t= 1 und die Rückrichtung, also die Berechnung des Payoffs mit [mm] \Delta [/mm] t= 1/12 berechnen... wohl nicht hm :-( )
Schau mal, ich fand dieses Video sehr gut.
http://www.youtube.com/watch?v=35n7TICJbLc
Soweit ich es verstanden habe, wird immer dann der "value of exercise" ausgerechnet, wenn die Möglichkeit besteht dass der niederiger sein könnter als dieser. Dann wird der größte Wert der beiden genommen.
So weit so gut, nun fand ich diese Methode Super und habe die Vi,j demnach berechnet... Jetzt habe ich ein Problem die Frage "Geben Sie alle Knoten in denen es Sinnvoll ist, die Option auszuüben"... Intuitiv würde ich sagen "Genau dort, wo ich mich für Value of early exercise entscheiden musste, statt dem ausgerechneten "Wert der Option(sij)...
Im Video also den Knoten: [mm] V_{96} [/mm] bzw. [mm] S_{1,2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 So 05.01.2014 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
danke für das Video, das die Bewertung und auch inhaltlich den Unterschied zur europäischen Option sehr deutlich macht. Bei der letzteren gibt es keinen value auf early exercise; ansonsten sind die Rechnungen identisch mit denen bei der europäischen Option, da man die Daten braucht, um den aktuellen Preis zu ermitteln.
$ [mm] \Delta [/mm] t $ - an seiner Stelle wird manchmal auch der Buchstabe h angesetzt - soll benennen die Intervalle innerhalb eines Jahres für die Abzinsung der Payoffs, während n die Anzahl der Betrachtungen (Perioden) während der Laufzeit der Option angibt. In Deiner Aufgabe ist n=5 und es gibt eine monatliche Betrachtung, so daß der Baum im Monatsabstand aufgebaut wird; in dem Video lauft die Option 1,5 Jahre und es gibt eine halbjährliche Betrachtung, so daß n=3 ist; also gibt es alle 6 Monaten eine Verzweigung. D.h. der Aufbau Deines Baums ist sicher richtig; dafür braucht man $ [mm] \Delta [/mm] t $ nicht; für Abzinsung der einzelnen payoffs muß aber gerechnet werden
$ [mm] \Delta t=\bruch{5}{12} [/mm] : 5 $.
Betrachtet man (in dem Video) den aufgebauten Baum und die ermittelten Optionswerte im jeweiligen Verzweigungspunkt, kann man generell sagen, daß sich die Ausübung der Option immer lohnen kann, wenn der Wert >0 ist. Es gibt Fälle, bei denen der value of exercise höher ist als der errechnete - aber auch umgekehrt. Ich würde mich bei der Beantwortung der Frage von der Betrachtung allein des value of exercise lösen. Zu welchem Zeitpunkt ein Investor tatsächlich die Option zieht, hängt letztlich von seiner Einschätzung der weiteren Entwicklung am Aktienmarkt ab, hier im wesentlichen davon, ob er meint, der Kurs der Aktie wird weiter fallen. Angesichts des heutigen Preises der Option im Video können für ihn nur die erwarteten Aktienkurse von 80, 64, 51,20 und 76,80 interessant sein, weil dann der Wert der Option höher ist als der heutige Preis. Diese Entscheidung hat aber nichts mehr mit Mathematik zu tun.
Gruß
Staffan
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Ich fand das Video super Freut mich das es auch dir gefallen hat.
Vielen Dank für deine Antwort.
Weißt du wie hoch der durch Ausübung der Option maximaler erzielbare Gewinn ist? Und mit welche Wahrscheinlichkeit sich dieser erzielen lässt?
Weißt du wie ich da vorgehen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 So 05.01.2014 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
Gerne.
Zur Frage des maximalen Gewinns:
Zu Optionen sind mir dazu keine besonderen Formeln oder Methoden bekannt.
Nach den allgemeinen Methoden der Finanzmathematik würde ich so vorgehen:
Für jeden Verzweigungspunkt können die Werte der Option berechnet werden; um diese Werte mit dem aktuellen Preis zu vergleichen, sollten sie per heute mit dem risikolosen Zins abgezinst werden. Der maximale Gewinn wäre der höchste Wert. Da es nach der Aufgabe insgesamt 20 Werte sind und die Möglichkeit des Eintritts für jeden gleich groß ist, wäre die Wahrscheinlichkeit pro Wert 5%.
Allerdings sind diese Überlegungen insofern theoretisch, weil die tatsächliche Kursentwicklung nicht vorhersehbar ist. Der Gewinn kann daher auch höher sein. Auf jeden Fall begrenzt ist der Verlust - auf den Kaufpreis der Option.
Gruß
Staffan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 So 05.01.2014 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
> Hi,
> "Baum" erfolgreich gefüllt . Es sind doch nur 6
> Ergebnisse am Ende (Zum Zeitpunkt n=5).
>
Glückwunsch!
>
> Nun habe ich wie im Skript auf S.39 steht, jeden möglichen
> Aktienkurs berechnet.
>
> Unter Aufgabe 1 steht, wir sollen die Möglichen
> Aktienkurse berechnen, gut erledigt.
>
> Aber was ist gemeint mit " Ermittle zuerst für i=1,...,5
> die Kurse [mm]S^{0,i}[/mm] und [mm]S^{j.i}[/mm] und schließe daraus unter
> Verwendung einer mathematischen Argumentation unmittelbar
> auf die Kurse [mm]S^{j.i}[/mm] für i=2,...,5 und j=1,...,i-1 ?
>
> nun ja ich arbeite mit dem Skript den ich dir zeigte, so
> ist i bei mir n
>
> Ich habe es nach n (oder i) unterteilt, sprich für jeden
> Zeitabschnitt von 1 bis 5 die [mm]S^{j.i}[/mm] berechnet. und somit
> mein Baum vervollständigt.
>
> Für [mm]S^{5,5}[/mm] habe ich Beispielsweise stehen:
>
> [mm]S^{5,5}[/mm] = [mm]u^{5}[/mm] * [mm]d^{0}[/mm] * [mm]S_{0}[/mm]
>
> Was ist mit "mathematische argumentation gemeint"?
Zu diesem Ergebnis bist Du gekommen, indem Du 5 ups und 0 downs angesetzt hast. Um das direkt daneben liegenden Ergebnis zu erhalten, gibt es 4 ups und 1 down, also rechnest Du (wobei ich jetzt die Indexierung weglasse)
$ [mm] S=u^4 \cdot d^1 \cdot S_0 [/mm] $, beim nächsten sind es 3 ups und 3 downs und damit $ [mm] S=u^3 \cdot d^2 \cdot S_0 [/mm] $.
Der mathematische Zusammenhang ist die Kombinatorik. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl der Wege zu je einem Aktienkurs und den Schritten im Baum sowie den ups lautet wie folgt:
$ SchrittederWege= {SchritteimBaum [mm] \choose [/mm] Anzahlderups} $.
Wie ich
> daraus schliesse das die ups and downs zusammen gefasst
> werden? Um bei den genannten Beispiel zu Bleiben: ich folge
> 5x den up Zweig und gehe dabei kein mal runter... Falls
> ja... So etwas kann ich nur in Worte darstellen...
>
>
Gruß
Staffan
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Das bedeutet [mm] \Delta [/mm] t =1. Oder? Alle meine Berechnungen basieren jetzt darauf, da es für mich als logisch erschein (Verfallszeit 5 Monate, Betrachtungszeit n=5) Also ist der Abstand zwischen den Verzweifungen 1. Bitte berichtige mich, falls das Fehlerhaft sein sollte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 05.01.2014 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
das sehe ich zwar grundsätzlich auch so. Man muß nur aufpassen, wenn diese Größe für Abzinsungen verwendet werden soll, weil der risikolose Zins eigentlich immer ein Jahreszins ist. Da $ [mm] \Delta [/mm] t $ sich auf einen Monat bezieht, müßte man da $ [mm] \bruch{1}{12} [/mm] $ ansetzen.
Gruß
Staffan
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