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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Sa 02.08.2008 | | Autor: | cmg |
| Aufgabe | Entwicklen Sie [mm]f(x) = (1+x)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] and der Stelle [mm]x=0[/mm] in eine Potenzreihe.
a) wie lautet der n-te Summand?
b)wie groß ist der Fehler Maximal, wenn Sie zur Berechnung von [mm]f(x)[/mm] mit [mm]x=\bruch{1}{10}[/mm] nur die ersten drei Summanden der Potenzreihe aufaddieren? |
So,
ich habe die Ableitungen gebildet und meine allgemeine Ableitung wäre dann
[mm]f^{(n)}(x) = (-1)^{n}*(-0.5)* (-0.5 -1) * (-0.5 -2) * (-0.5 -3 ) ... *(1+x)^{-0.5}[/mm]
Laut meine Unterlagen kann ich das auch als
[mm]P(x) = \vektor{-0.5\\0}*x + \vektor{-0.5 \\ 1}*x^{2} + \vektor{-0.5 \\ 3}*x^{3} + ... + \vektor{-0.5 \\ n}*x^{n}[/mm]
ausdrücken.
Wenn das richtig ist, dann würde
a) [mm] \vektor{-0.5 \\ n}*x^{n} [/mm] lauten
b) wie ermittel ich denn den maximalen Fehler? Ich habe mir überlegt, der Fehler wird von Summand, zu Summand kleiner. Wenn ich jetzt also die ersten drei Summanden addieren ist der Fehler, der danach folgt maximal so groß wie der dritte Summand, weil alle Summand nach dem dritten ja höchsten so groß sein können wie der Dritte Summand selber, ist das die korrekte Lösung? also in meinem Fall: [mm] \vektor{-0.5 \\ 3}*0.1^{3}
[/mm]
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> Entwicklen Sie [mm]f(x) = (1+x)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] and der Stelle
> [mm]x=0[/mm] in eine Potenzreihe.
> a) wie lautet der n-te Summand?
> b)wie groß ist der Fehler Maximal, wenn Sie zur Berechnung
> von [mm]f(x)[/mm] mit [mm]x=\bruch{1}{10}[/mm] nur die ersten drei Summanden
> der Potenzreihe aufaddieren?
> So,
>
> ich habe die Ableitungen gebildet und meine allgemeine
> Ableitung wäre dann
>
> [mm]f^{(n)}(x) = (-1)^{n}*(-0.5)* (-0.5 -1) * (-0.5 -2) * (-0.5 -3 ) ... *(1+x)^{-0.5}[/mm]
Hallo,
diese allgemeine Ableitung ist nicht richtig, obgleich sie Richtiges enthält - dazu weiter unten.
Kannst Du eigentlich sagen, wofür Du die allgemeine Ableitung ausgerechnet hast?
>
> Laut meine Unterlagen kann ich das
Was denn genau? Die n-te Ableitung? Das stimmt nicht.
Aber die Potenzreihenentwicklung der Funktion kannst Du auch mithilfe der Binomialreihe bekommen. (Wie denn sonst noch?)
> auch als
>
> [mm]P(x) = \vektor{-0.5\\0}*x + \vektor{-0.5 \\ 1}*x^{2} + \vektor{-0.5 \\ 3}*x^{3} + ... + \vektor{-0.5 \\ n}*x^{n}[/mm]
>
> ausdrücken.
Die binomische Reihe geht so
[mm] P_f(x)= \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k [/mm]
Beachte die Summation, die bei Null beginnt sowie die Tatsache, daß es sich nicht um eine endliche Reihe handelt.
Wie lautet sie also richtig ausgeschrieben?
> Wenn das richtig ist, dann würde
>
> a) [mm]\vektor{-0.5 \\ n}*x^{n}[/mm] lauten
Ja.
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du das getan hast, was Du tun solltest.
Ich stelle mir vor, daß man von Dir wollte, daß Du zeigst, wie man eine Taylorentwicklung macht - dafür braucht man die n-te Ableitung, und genau diesen Weg scheinst Du ja angesetzt zu haben zunächst.
Der Weg, die binomische Reihe einfach hinzuschreiben, ist aber recht raffiniert im Prinzip, da kann man sich nämlich die Ableiterei sparen - Du mußtest die gefundene Formel ja auch noch beweisen. (Induktion)
Allerdings brauchst Du zumindest die 3. Ableitung dann doch noch für Aufgabenteil b).
Nun zur Ableitung, falls Du eine Taylorentwiclung machen möchtest.
Wie gesagt: Deine Formel stimmt nicht.
Schreib's mal bis mindestens zur dritten Ableitung auf und stell dann eine Behauptung auf dazu, wie die n-te Ableitung v. f an der Stelle x lautet, also [mm] f^{(n)}(x)=....
[/mm]
Arbeite hierzu mit Brüchen und nicht mit Dezimalzahlen, man erkennt dann die Regelmäßigkeiten besser.
Diese Behauptung müßte dann bewiesen werden, aber vielleicht schaut vorher nochmal wer drauf.
Du kannst allerdings die n_te Ableitung an der Stelle 0 (!) , also [mm] f^{(n)}(0), [/mm] ohne jedes Rechnen der binomischen Reihe entnehmen.
Dies beruht darauf, daß die Taylorreihe gleich der Potenzreihe ist, was in der Vorlesung sicher erwähnt wurde.
>
> b) wie ermittel ich denn den maximalen Fehler?
Ich bin mir sicher, daß Taylorentwicklung/-polynom dran waren, und hier habt Ihr sicher restgliedabschätzungen notiert. Die Brauchst Du hier.
Gruß v. Angela
Ich habe mir
> überlegt, der Fehler wird von Summand, zu Summand kleiner.
> Wenn ich jetzt also die ersten drei Summanden addieren ist
> der Fehler, der danach folgt maximal so groß wie der dritte
> Summand, weil alle Summand nach dem dritten ja höchsten so
> groß sein können wie der Dritte Summand selber, ist das die
> korrekte Lösung? also in meinem Fall: [mm]\vektor{-0.5 \\ 3}*0.1^{3}[/mm]
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