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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Sa 19.07.2014 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | | Es seien X, Y unabhängige Zufallsvariable, wobei X [mm] Bin(2,\bruch{1}{3})-verteilt [/mm] und Y Bin(2, [mm] \bruch{2}{3})-verteilt [/mm] sei. Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion. Berechnen Sie E(X + Y) und Var(X + Y). |
Liebe Forenteilnehmer,
heute geht es um die Binomialverteilung. Die Berechnung von E(X + Y) und Var(X + Y) ist für unabhängige Zufallsvariablen folgerndermaßen zulässig:
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
sowie
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
Weiterhin gilt für die Binomialverteilung:
E(X) = n*p
und Var(X) = n*p*q
Somit kann ich den Erwartungswert als auch die Varianz durch Anwendung der Formel einfach ausrechnen oder?
E(X) = 2 * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
E(Y) = 2 * [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
E(X + Y) = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3} [/mm] = [mm] \bruch{6}{3} [/mm] = 2
und
Var(X) = 2 * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9}
[/mm]
Var(Y) = 2 * [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9}
[/mm]
Var(X + Y) = [mm] \bruch{4}{9} [/mm] + [mm] \bruch{4}{9} [/mm] = [mm] \bruch{8}{9}
[/mm]
soweit richtig?
Besten Dank im Voraus! Ich muss dem Forum meinen Dank ausprechen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Sa 19.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Sieht gut aus, aber beachte, dass die Linearität vom Erwart-
ungswert auch für abhängige Zufallsvariablen zulässig ist.
Beim Erwartungswert ergibt sich, falls die Zufallsvariablen
unabhängig sind, eine weitere Eigenschaft (Welche?).
Eigentlich sollst du aber zunächst die Verteilung von [mm] $X+Y\$
[/mm]
berechnen und dann damit weiterrechnen.
Was ist denn die Verteilung von [mm] $X+Y\$?
[/mm]
Tipp: Faltungssatz.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Sa 19.07.2014 | | Autor: | ATDT |
>
> Eigentlich sollst du aber zunächst die Verteilung von
> [mm]X+Y\[/mm]
> berechnen und dann damit weiterrechnen.
>
> Was ist denn die Verteilung von [mm]X+Y\[/mm]die ?
Die Verteilung von (X + Y) wäre dann (4, 1)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Sa 19.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> Die Verteilung von (X + Y) wäre dann (4, 1)?
>
Was ist denn das fuer eine putzige Verteilung?
Uberlege dir, welche Werte $z$ die Zufallsvariable $X+Y$ annehmen kann, und berechne $P(X+Y=z)$ fuer alle moeglichen $z$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mo 21.07.2014 | | Autor: | ATDT |
P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] \summe_{k=0}^{2} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^k [/mm] * [mm] (1-p)^n-k
[/mm]
P(X [mm] \le [/mm] 2) = [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 0} * (\bruch{1}{3})^0 * (1-\bruch{1}{3})^{2-0}}_{= P(X=0)} [/mm] + [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 1} * (\bruch{1}{3})^1 * (1-\bruch{1}{3})^{2-1}}_{= P(X=1)} [/mm] + [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 2} * (\bruch{1}{3})^2 * (1-\bruch{1}{3})^{2-2}}_{= P(X=2)}
[/mm]
P(X = 0) = [mm] \vektor{2 \\ 0} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{3})^0 [/mm] * [mm] (1-\bruch{1}{3})^{2-0} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9}
[/mm]
P(X = 1) = [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{3})^1 [/mm] * [mm] (1-\bruch{1}{3})^{2-1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9}
[/mm]
P(X = 2) = [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{3})^2 [/mm] * [mm] (1-\bruch{1}{3})^{2-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
P(Y [mm] \le [/mm] 2) = [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 0} * (\bruch{2}{3})^0 * (1-\bruch{2}{3})^{2-0}}_{= P(Y=0)} [/mm] + [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 1} * (\bruch{2}{3})^1 * (1-\bruch{2}{3})^{2-1}}_{= P(Y=1)} [/mm] + [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 2} * (\bruch{2}{3})^2 * (1-\bruch{2}{3})^{2-2}}_{= P(Y=2)}
[/mm]
P(Y = 0) = [mm] \vektor{2 \\ 0} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^0 [/mm] * [mm] (1-\bruch{2}{3})^{2-0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
P(Y = 1) = [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^1 [/mm] * [mm] (1-\bruch{2}{3})^{2-1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9}
[/mm]
P(Y = 2) = [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^2 [/mm] * [mm] (1-\bruch{2}{3})^{2-2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9}
[/mm]
[mm] P(X_{0} [/mm] + [mm] Y_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{4}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] = [mm] \bruch{5}{9}
[/mm]
[mm] P(X_{1} [/mm] + [mm] Y_{1}) [/mm] = [mm] \bruch{4}{9} [/mm] + [mm] \bruch{4}{9} [/mm] = [mm] \bruch{8}{9}
[/mm]
[mm] P(X_{2} [/mm] + [mm] Y_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{4}{9} [/mm] = [mm] \bruch{5}{9}
[/mm]
Ist das der richtige Weg? Danke euch allen! Und wie errechnet sich der Erwartungswert E(X + Y)? Muss ich jeweils die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von [mm] X_{0} [/mm] bis [mm] X_{2} [/mm] summieren und daraus den Erwartungswert / Varianz errechnen? und dann analog für Y vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Mo 21.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Dieser Weg ist sehr aufwendig, aber für dieses kleine Beispiel kann man das auch so machen.
Du willst die Verteilung von $X+Y$ berechnen. Dazu musst du wissen, wie $P(X+Y=k)$ aussieht für alle Werte $k$, die die Summe $X+Y$ annehmen kann. Welche Werte kann $X+Y$ annehmen?
Nehmen wir z.B. k=0. Wie kannst du $P(X+Y=0)$ ausrechnen? Die Summe ist genau dann 0, wenn $X=0$ und $Y=0$ sind, also $P(X+Y=0)=P(X=0, Y=0)=P(X=0)P(Y=0)$ (warum gilt der letzte Schritt?). Die Werte von $P(X=0)$ und $P(Y=0)$ hast du ja schon selber berechnet.
Dann weiter für $P(X+Y=1)$. Hierzu könnte $X=0$ und $Y=1$ oder $X=1$ und $Y=0$ sein. Also [mm] $P(X+Y=1)=P(\{X=0,Y=1\}\cup\{X=1,Y=0\})=...$. [/mm] Nun du.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mo 21.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> Und wie
> errechnet sich der Erwartungswert E(X + Y)? Muss ich
> jeweils die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von [mm]X_{0}[/mm] bis
> [mm]X_{2}[/mm] summieren und daraus den Erwartungswert / Varianz
> errechnen? und dann analog für Y vorgehen?
Wieso das? Du hast doch die Verteilung von $Z=X+Y$ bestimmt. Und wie man die Erwartungswert bzw. die Varianz des diskret verteilten $Z$ berechnet, wirst du doch wissen, oder? Du wirst ueberrascht sein, sie stimmen mit den Ergebnissen deines ersten Postings ueberein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 19.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Alternativ benutz doch meinen Tipp:
Seien [mm] $X\$ [/mm] und [mm] $Y\$ [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten
[mm] $f\$ [/mm] und [mm] $g\$, [/mm] dann hat [mm] $X+Y\$ [/mm] die Dichte [mm] $f\star g\$.
[/mm]
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