Binomialverteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.)n=10 , p=0,75 [mm] P(3\leX\le8)
[/mm]
2.)n=100, p=0,8 P(70<X<78)
3.)n=100, p=5/6 [mm] P(80\leX\le84) [/mm] |
Hallöchen!
Ich will grad ein bisschen Mathe üben und hab mal angefangen alte Hausaufgaben, die ich falsch hatte zu "überrechnen", leider stocke ich hier ein bisschen...
also bisher habe ich berechnet:
1.) n=10 , [mm] p_{2}=0,25 [/mm]
[mm] P_{2}(X_{2}\le8) [/mm] - [mm] P_{2}(X_{2}\le3)
[/mm]
Ist das soweit richtig?...
bei den andren komm ich nicht weiter als:
[mm] 2.)p_{2}=0,2
[/mm]
[mm] 3.)p_{2}=1/6
[/mm]
Über Hilfe würde ich mich freuen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> 1.)n=10 , p=0,75 [mm]P(3\le X\le8)[/mm]
> 2.)n=100, p=0,8 P(70<X<78)
> 3.)n=100, p=5/6 [mm]P(80\leX\le84)[/mm]
> Hallöchen!
> Ich will grad ein bisschen Mathe üben und hab mal
> angefangen alte Hausaufgaben, die ich falsch hatte zu
> "überrechnen", leider stocke ich hier ein bisschen...
> also bisher habe ich berechnet:
>
> 1.) n=10 , [mm]p_{2}=0,25[/mm]
> [mm]P_{2}(X_{2}\le8)[/mm] - [mm]P_{2}(X_{2}\le3)[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?...
Fast. Wenn du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen willst, dass X im Intervall [3;8] liegt, so berechnest du [mm] $P(X\le [/mm] 8)$ Damit hast du dann X für alle Zahlen von 0-8 drin. Jetzt musst du noch aufpassen, weil du hast ja zu Viele Zahlen für X zugelassen. Du musst jetzt aber noch beachten, dass die 3 ja mit im Intervall liegt. Also musst du alle Zahlen, die kleiner als 3 sind rauswerfen. Also:
[mm] $P(3\le [/mm] X [mm] \le 8)=P(X\le 8)-P(X<3)=P(X\le 8)-P(X\le [/mm] 2)$
Ist das klar warum?
>
> bei den andren komm ich nicht weiter als:
> [mm]2.)p_{2}=0,2[/mm]
> [mm]3.)p_{2}=1/6[/mm]
Damit hast du die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet...Das brauchst du aber nicht.
Hier kannst du doch analog wie oben rechnen!
Stell' dir das immer so vor:
Du lässt X von 0 bis zur oberen Grenze laufen. Also meinetwegen von 0-8. Dann solltest du ja im ersten Beispiel X von 3-8 laufen lassen, also sind die 0, die 1 und die 2 zu viel in deiner ersten Wahrscheinlichkeit. Deshalb musst du die wieder rauswerfen. Wie das geht, steht oben.
Das selbe machst du jetzt mit diesen Aufgaben. Es sind vom prinzip her genau die selben.
LG
Kroni
>
> Über Hilfe würde ich mich freuen
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ok, das erste hab ich glaub ich verstanden und hab da nun:
0,474 raus...
aber die andren würde ich gerne auch mit gegenereignis berechnen....wie genau muss ich das machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 So 23.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich kann dir das Ergebnis nicht genau bestätigen, weil ich keine Stochastik-Tabelle hier habe, in der die kumulierten Werte drinstehen.
Okay, du magst das also mit dem Gegenereignis rechnen. Dann Gilt also folgende Überlegung:
Du hast z.B. in deinem ersten Beispiel alle Werte, von X gleich 3 bis X gleich 8, mit n=10.
Wenn du das mit dem Gegenereignis rechnest, dann musst du 1 minus die X-Werte, die nicht in diesem Intervall liegen rechnen. Also: [mm] $1-P(X<2)-P(9\le [/mm] X [mm] \le [/mm] 10)=1-P(X<2)-P(X=9)-P(X=10)$
Und hier kann man jetzt sehen: Dieses Ergebnis ergibt die Wahrscheinlichkeit für die X-Werte, die jetzt noch in der oberen Angabe "fehlen". Und das sind ja genau X=3,4,5,6,7,8 .
Das passt also auch.
Und genau so musst du das dann auch mit Hilfe des Gegenereignisses rechnen, wenn dort andere Zahlen stehen.
Nur eine persönliche Meinung: Bei diesen Aufgaben würde ich nie auf die Idee kommen, das mit dem Gegenereignis zu rechnen...Da ist das andere doch schon deutlich einfacher und weniger Fehlerlastig und weniger rechenintensiv!
LG
KRoni
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Ok...irgendwie habe ich das noch nicht so ganz verstanden...also nochmal von vorne^^...ich soll das mit Hilfe des Umekehr"dingens" machen, also Erfolg und Misserfolg vertauschen...
ich habe nun:
[mm] P(3\le X_{1}\le8) [/mm] nun suche ich [mm] P(??X_{2}???)
[/mm]
für [mm] p_{1}=0,75 [/mm] und bei [mm] p_{2}=0,25 [/mm]
n=10...
Ich weiss diese Rechenart scheint eher "unbekannt" aber ich soll das (meinem Lehrer zu Liebe so rechnen)..
Bitte, bite helft mir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Ok...irgendwie habe ich das noch nicht so ganz
> verstanden...also nochmal von vorne^^...ich soll das mit
> Hilfe des Umekehr"dingens" machen, also Erfolg und
> Misserfolg vertauschen...
>
> ich habe nun:
>
> [mm]P(3\le X_{1}\le8)[/mm]
Also, n=10, d.h. die Anzahl der möglichen Erfolge ist ein Element aus [mm]B=\{0,1,2,\dots,10\}[/mm] (d.h. Du hast entweder 0 oder 1 oder 2 oder 3 oder... oder 10 Erfolge bei 10 Versuchen)
Wenn nun die zulässigen Ergebnisse mit zwei Ungleichungen bestimmt werden ([mm]P(3 \le X_1 \le 8)[/mm]), so sind alle Elemente der möglichen Ergebnisse (0,1,2,3,...,10) zulässig, die sowohl die eine ([mm]X_1 \ge 3[/mm]) als auch die andere ([mm]X_1 \le 8[/mm]) Seite der Ungleichung erfüllen:
[mm]P(3 \le X_1 \le 8) = P(X_1 \ge 3\ \text{und}\ X_1 \le 8) = P(X_1 \in \{3,4,5,6,7,8\})[/mm]
Jetzt teil mal auf in die Möglichkeiten, die oben zulässig sind, und die, die es nicht sind:
[mm]A=\{3,4,5,6,7,8\},\quad A^c=B\backslash A=\{0,1,2,9,10\}[/mm]
Dann ist [mm]P(3\le X_1\le 8)= P(X_1 \in A) = 1 - P(X_1 \notin A) = 1- P(X_1 \in A^c)=[/mm]
( denn P(Ereignis)=1-P(Gegenereignis) )
[mm] = 1- P(X_1 \in A^c) = 1 - P(X_1 \in \{0,1,2,9,10\}) = 1- P(X_1 < 3\ \text{\underline{oder}}\ X_1 > 8) = 1- (P(X_1 <3)+P(X_1>8))[/mm]
Das Gegenereignis sind die Möglichkeiten, die übrig bleiben (0,1,2,9,10), wenn Du von der Menge aller möglichen Ergebnis (0,1,2,3,...,10) die wegnimmst, die das Ereignis bilden (3,4,5,6,7,8)
Wobei Du bei Ungleichungen noch aufpassen mußt, ob kleiner/gleich oder kleiner (bzw. größer/gleich oder größer) dastehen:
[mm]P(3 < X_1 < 8) = P(X_1 > 3\ und\ X_1 < 8) = P(X_1 \in \{4,5,6,7\})[/mm]
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oje,,,danke für deine mühen, das sieht ja böse kompliziert aus...
ist = 1- [mm] (P(X_1 <3)+P(X_1>8)) [/mm] nun mein umkehrwert zu [mm] X_1?
[/mm]
also [mm] X_2 [/mm] oder ist das noch nichts das ergebnis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Blech |
> oje,,,danke für deine mühen, das sieht ja böse kompliziert
> aus...
>
> ist = 1- [mm](P(X_1 <3)+P(X_1>8))[/mm] nun mein umkehrwert zu [mm]X_1?[/mm]
Wenn Du mit Umkehrwert, wie oben Gegenereignis meinst, dann ja, aber:
> also [mm]X_2[/mm] oder ist das noch nichts das ergebnis?
Das ist immer noch [mm] X_1. [/mm] Nur andere zulässige Werte (Gegenereignis), statt den ursprünglichen (Ereignis) für [mm] X_1.
[/mm]
Schreib mal genau, was Du mit Umkehrwert meinst (oder zeig mir, wo Du's geschrieben hast, vielleicht bin ich auch nur blind, ich hab manchmal solche Phasen =)
Wovon ich ausgegangen bin war:
Ok...irgendwie habe ich das noch nicht so ganz verstanden...also nochmal von vorne^^...ich soll das mit Hilfe des Umekehr"dingens" machen, also Erfolg und Misserfolg vertauschen...
Und das hab ich getan:
Das Gegenereignis sind die Möglichkeiten, die übrig bleiben (0,1,2,9,10), wenn Du von der Menge aller möglichen Ergebnis (0,1,2,3,...,10) die wegnimmst, die das Ereignis bilden (3,4,5,6,7,8)
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...oje...*verzweiflung*^^---
ich geb maL ein bsp. für so eine Rechnung:
n=100, [mm] p_1=0,8 [/mm] ; [mm] p_2=0,2
[/mm]
[mm] P(X_1>75) [/mm] = [mm] P(X_2 \le [/mm] 24) = (in der kommulierten Verteilungstabelle nachguckn: 0,869
so, soll das irgendiwe lösbar sein, aber da ich ja jetzt immer zwischen zwei werten bin ist das leider irgendwie so kompliziert... muss ich das erst umschreiben oder...oder..*verzweifel*...aber trotzdem dickes Danke an dich!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Blech |
> ...oje...*verzweiflung*^^---
> ich geb maL ein bsp. für so eine Rechnung:
>
> n=100, [mm]p_1=0,8[/mm] ; [mm]p_2=0,2[/mm]
> [mm]P(X_1>75)[/mm] = [mm]P(X_2 \le[/mm] 24) = (in der kommulierten
> Verteilungstabelle nachguckn: 0,869
Langsam versteh ich das, denk ich.
[mm]X_1 = n-X_2 = 100 -X_2[/mm] (Hier n=100)
[mm]\Rightarrow P(X_1 > 75) = P(100-X_2 > 75) = P(X_2<25) = P(X_2 \le 24)[/mm]
EDIT: Es ist spät, ich erzähle Schwachsinn.
Statt der Anzahl der Erfolge betrachtest Du also die Anzahl der Mißerfolge.
P(Erfolge > was auch immer) = P(Mißerfolge < n - was auch immer), wobei [mm] p_{Mi"serfolg}=1-p_{Erfolg}.
[/mm]
Das geht natürlich - vor allem, wenn Du Tabellen hast, die nur bis p=0,5 gehen.
>
> so, soll das irgendiwe lösbar sein, aber da ich ja jetzt
> immer zwischen zwei werten bin ist das leider irgendwie so
> kompliziert
Wenn X zwischen 2 Werten ist, dann ist es
[mm]P(a\le X\le b) = P(X \le b) - P(X < a)[/mm], bzw.
[mm]P(a< X < b) = P(X
Wenn auf einer Seite < und auf der anderen [mm] \le [/mm] stehen, dann ist es entsprechend eine Mischung aus den beiden.
Warum das so ist, hängt mit der Betrachtung der Mengen aus meiner letzten Antwort zusammen. Wenn Mengen nicht Dein Ding sind, dann merk Dir einfach die verschiedenen Versionen.
Sonst kann ich versuchen das ganze mal nochmal ausführlich herzuleiten, aber das ist mir zu viel Arbeit, wenn es Dir nichts bringt =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Blech |
> 1.)n=10 , p=0,75 [mm]P(3\le X \le 8)[/mm]
> 2.)n=100, p=0,8 P(70< X <78)
> 3.)n=100, p=5/6 [mm]P(80\le X \le 84)[/mm]
Wenn X zwischen 2 Werten ist, dann ist es
[mm]P(a\le X\le b) = P(X \le b) - P(X < a)[/mm], bzw.
[mm]P(a< X < b) = P(X
Damit kannst Du die drei normal machen. (Was wäre analog zu diesen beiden die Formel für [mm]P(a
Für die umgedrehte Variante probier das ganze mal auszuformulieren:
also:
[mm]p_{Erfolg}=0,75 \Rightarrow p_{Mi"serfolg}=1-0,75=0,25[/mm]
P(zwischen 3 und 8 Erfolge) = P(nicht mehr als 7 und nicht weniger als 2 Mißerfolge) = P( 7 [mm] \ge X_{Mi"serfolg} \ge [/mm] 2 ) = P( 2 [mm] \le X_{Mi"serfolg} \le [/mm] 7 ).
Und das dann wie oben auflösen.
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