Binomialverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Di 22.01.2008 | | Autor: | sawo20 |
| Aufgabe | In einer Urne befinden sich 35 Kugeln. Davon sind 20 schwarz und der Rest rot. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass von 5 entnommenen Kugeln
a) genau 3 schwarz und 2 rot sind,
b) höchstens 3 schwarz und mindestens 3 rot sind,
c) mindestens 2 schwarz und mindestens 4 rot sind
Die Kugeln werden nacheinander gezogen und nicht zurückgelegt. Die Reihenfolge soll keine Rolle spielen.
|
Hallo Zusammen,
irgendwie komme ich mit der Aufgabe überhaupt nicht klar, vielleicht kann mir jemand von Euch nen kleinen Denkanstoß geben.
unklar sind mir die Lösungswege zu b) und c)
Lösen wollte ich daß ganze mittels Binomialverteilung, was mir auch soweit klar wäre, wenn z.B. danach gefragt wird, wie hoch die Chance ist 4 rote Kugeln zu erhalten?
-->
p= 15/35= 0,43
n= 5 Ziehungen
k= 4 (genau 4 rote Kugeln)
P= [mm] \vektor{n \\ k} *p^k *(1-p)^n-k
[/mm]
P= [mm] \vektor{5 \\ 4}*(0,43)^4*(1-0,43)^{5-4}
[/mm]
ist das überhaupt richtig?
so um nun b) und c) zu lösen, muss ich die ganze Prozedur für die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen und dann die Summe bilden um meine Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten?
Aber wie stelle ich es da, und wie berechne ich "p" für b) und c)
Ich hoffe Ihr könnt mir Erleuchtung bringen....
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Di 22.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin sawo20,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo Zusammen,
>
> irgendwie komme ich mit der Aufgabe überhaupt nicht klar,
> vielleicht kann mir jemand von Euch nen kleinen Denkanstoß
> geben.
>
> unklar sind mir die Lösungswege zu b) und c)
>
> Lösen wollte ich daß ganze mittels Binomialverteilung,
Das klappt hier nicht, da das sich p von Zug zu Zug aendert.
(Ziehen ohne Zuruecklegen; wie beim Lotto "6 aus 49")
> was
> mir auch soweit klar wäre, wenn z.B. danach gefragt wird,
> wie hoch die Chance ist 4 rote Kugeln zu erhalten?
>
> -->
> p= 15/35= 0,43
> n= 5 Ziehungen
> k= 4 (genau 4 rote Kugeln)
>
> P= [mm]\vektor{n \\ k} *p^k *(1-p)^n-k[/mm]
>
> P= [mm]\vektor{5 \\ 4}*(0,43)^4*(1-0,43)^{5-4}[/mm]
>
> ist das überhaupt richtig?
Nein.
>
> so um nun b) und c) zu lösen, muss ich die ganze Prozedur
> für die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen und dann die
> Summe bilden um meine Gesamtwahrscheinlichkeit zu
> erhalten?
Ja.
>
> Aber wie stelle ich es da, und wie berechne ich "p" für b)
> und c)
Google mal (oder suche in deinen Unterlagen) nach dem Stichwort
"hypergeometrische Verteilung".
vg Luis
PS: Darf ich einmal fragen, was dich in den Matheraum "gefuehrt" hat?
Google, Zufall, Empfehlung,...?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Di 22.01.2008 | | Autor: | sawo20 |
Hallo Luis,
danke erstmal für deinen Willkommensgruß und deinen super schnelle Antwort!
Ich bin eigentlich eher durch Zufall gestern Abend auf's Forum gestoßen, da mich die Lösungsversuche der Aufgabe den ganzen Abend gekostet haben und ich ehrlich gesagt immer noch nicht weiß, wie ich's machen soll. Ich bin in dem ganzen Thema Statistiken nicht ganz so tief drin.
Nicht das Du jetzt denkst, ich will hier ne fertige Lösung von Dir präsentiert haben, ich habe schon den Ehrgeiz, daß auch zu verstehen, allerdings stehe ich hier sowas von auf dem Schlauch...
also, wie ich Beispielsweise für a) die Berechnung vornehme weiß ich ja
[mm] \bruch{\vektor{20\\ 3}\vektor{15\\ 2}}{\vektor{35\\ 5}} [/mm]
das ist ja auch schon über die "hypergeometrische Verteilung".
Meine Möglichkeiten zu b) sind ja wie folgt:
"rrrss" oder "rrrrs" oder "rrrrr"
ist es dann richtig, daß ich jetzt für diese 2 Möglichkeiten jeweils die Einzelwahrscheinlichkeiten ausrechnen muß, also->
[mm] \bruch{\vektor{20\\ 3}\vektor{20\\ 4}\vektor{20\\ 5}}{\vektor{35\\ 5}} [/mm]
oder liege ich jetzt total falsch?
Grüße
sawo20
oder ist's eher so richtig?
->
Gesammtwahrscheinlichkeit= [mm] \bruch{\vektor{15\\ 3}\vektor{20\\ 2}}{\vektor{35\\ 5}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{15\\ 5}\vektor{20\\ 1}}{\vektor{35\\ 5}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{15\\ 5}\vektor{20\\ 0}}{\vektor{35\\ 5}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Di 22.01.2008 | | Autor: | sawo20 |
Super vielen Dank, Du bist echt super schnell im Antworten!
in den zweiten Bruch habe ich noch nen Fehler reingehauen, hier muß es doch heißen -->
[mm] \bruch{\vektor{15\\ 4}\vektor{20\\ 1}}{\vektor{35\\ 5}}
[/mm]
richtig?
Wie kann ich dann das korrekte Gesamtergebnis ausrechnen-->Mit dem Taschenrechner siehts ja schlecht aus, oder?
Allerdings wie siehts bei c) aus?
mind. 2 schwarze und mind. 4 rote.
Wie soll das bei nur 5 gezogenen Kugeln gehen?
[mm] \bruch{\vektor{15\\ 4}\vektor{20\\ 2}}{\vektor{35\\ 5}} [/mm] =
das ist dann aber irgendwie falsch, da ein Wert zwischen 0 und 1 rauskommt, somit würde es klappen:-(
Kannst Du mir sagen, wie man dieses Beispiel umändern müsste, daß man es über die Binomialverteilung lösen kann, wie ich es zuerst machen wollte? War mein Rechnenweg in meinem ersten Post richtig, wenn ich die Wahrscheinlichkeit von 4 roten Kugeln bei zurücklegen nach dem Ziehen wissen möchte?
Danke für deine Nerven, ich hoffe ich strapaziere dich nicht zu sehr.
Grüße
sawo20
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Di 22.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> in den zweiten Bruch habe ich noch nen Fehler reingehauen,
> hier muß es doch heißen -->
>
> [mm]\bruch{\vektor{15\\ 4}\vektor{20\\ 1}}{\vektor{35\\ 5}}[/mm]
>
> richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie kann ich dann das korrekte Gesamtergebnis
> ausrechnen-->Mit dem Taschenrechner siehts ja schlecht aus,
> oder?
Z.B. mit R, siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
>
> Allerdings wie siehts bei c) aus?
>
> mind. 2 schwarze und mind. 4 rote.
>
> Wie soll das bei nur 5 gezogenen Kugeln gehen?
Genau, gar nicht. Es handelt sich um das unmoegliche Ereignis,
dessen Wsk Null ist.
>
> Kannst Du mir sagen, wie man dieses Beispiel umändern
> müsste, daß man es über die Binomialverteilung lösen kann,
> wie ich es zuerst machen wollte?
Du musst mit Zuruecklegen ziehen.
> War mein Rechnenweg in
> meinem ersten Post richtig, wenn ich die Wahrscheinlichkeit
> von 4 roten Kugeln bei zurücklegen nach dem Ziehen wissen
> möchte?
Im Prinzip ja, aber ich verstehe an deiner Loesung nicht, warum du mit
$k=4$ rechnest. Der Aufgabenstellung nach muss $k=2$ gesetzt werden,
oder?
> Danke für deine Nerven,
Gerne.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Di 22.01.2008 | | Autor: | sawo20 |
Hallo Luis,
O.K. das habe ich soweit hoffentlich verstanden, aber nochmal kurz zum Ziehen mit Zurücklegen zurück...
Wenn ich Beispielsweise die Aufgabe mit Zurücklegen der Kugeln berechnen möchte.
a) $ [mm] \vektor{5 \\ 2}\cdot{}(0,43)^2\cdot{}(1-0,43)^{5-2} [/mm] $
ist das dann richtig, wenn ich z.B. nur die Wahrscheinlichkeit für die 2 roten Kugeln berechne? Was mache ich um dann die Wahrscheinlichkeit für exakt die Fragestellung "genau 3 schwarz und 2 rot" zu erhalten?
Muss ich dann mit dem Durchschnittlichen "p" aus beiden Wahrscheinlichkeiten rechen, also->
p= 15/35= 0,43
p= 20/35= 0,57
wenn ich das so durchdenke, ist mein Ansatz wahrscheinlich mist, richtig?
schönen Abend noch
Grüße
sawo20
P.S. danke für den Link
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Di 22.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Wenn ich Beispielsweise die Aufgabe mit Zurücklegen der
> Kugeln berechnen möchte.
>
> a) [mm]\vektor{5 \\ 2}\cdot{}(0,43)^2\cdot{}(1-0,43)^{5-2}[/mm]
>
> ist das dann richtig, wenn ich z.B. nur die
> Wahrscheinlichkeit für die 2 roten Kugeln berechne?
> Was
> mache ich um dann die Wahrscheinlichkeit für exakt die
> Fragestellung "genau 3 schwarz und 2 rot" zu erhalten?
Wo ist das Problem? Analog zu 2 Kugeln:
$ [mm] \vektor{5 \\ 3}\cdot{}(0,43)^3\cdot{}(1-0,43)^{5-3} [/mm] $
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Di 22.01.2008 | | Autor: | sawo20 |
aber die Urne beinhaltet doch 35 Kugel davon 20 schwarze und 15 rote.
Wenn ich dann 5 hintereinander mit zurücklegen ziehe, habe ich doch eine andere Wahrscheinlichkeiten, oder?
Bedeutet es nicht, daß die Berechnung für die 3 schwarzen Kugeln dann so aussehen müsste?
-->$ [mm] \vektor{5 \\ 3}\cdot{}(0,57)^3\cdot{}(1-0,57)^{5-3} [/mm] $ ,also mit p=0,57??
oder denke ich hier falsch?
und wie kann ich dann die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen, also wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 3 schwarze und 2 rote Kugeln zu ziehen?--> Summe der beiden Formeln-->
$ [mm] \vektor{5 \\ 2}\cdot{}(0,43)^2\cdot{}(1-0,43)^{5-2} [/mm] $+ $ [mm] \vektor{5 \\ 3}\cdot{}(0,57)^3\cdot{}(1-0,57)^{5-3} [/mm] $
guten Nacht
sawo20
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mi 23.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin sawo20,
merke, dass meine Antwort von 20:42 nicht korrekt ist. Bezeichne X die
Anzahl der schwarzen und Y die Anzahl der roten unter den 5 gezogenen
Kugeln. Wenn mit Zuruecklegen gezogen wird, so ist X binomialverteilt mit
$n=5$ und $p=20/35=0.57$, und Y ist binomialverteilt mit $n=5$ und $p=15/35=0.43$.
Du fragst Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 3 schwarze und 2 rote
Kugeln zu ziehen? Diese Wsk berechnest du so:
[mm] $P(X=3)={5\choose 3}0.53^3\times0.43^2={5\choose 2}\times0.43^2\times0.53^3=P(Y=2)$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
tach
ich würd sagen ja. war wohl n tippfehler 
ciao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Mi 23.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Marcel,
Danke fuer deine Klarstellung.
vg Luis
PS: Darf ich einmal fragen, was dich in den Matheraum "gefuehrt" hat?
Google, Zufall, Empfehlung,...?
|
|
|
| |
|
tach luis,
hatte ne frage zu ner (für nen achtklässler) viel zu komplizierten stochastik formel. über google hab ich das forum dann gefunden, und da ich n mathe freak bin :-D hab ich mich gleich ma angemeldet.
ciao marcel
|
|
|
|
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
(Geb's ungern zu; bin wohl doch nicht der Beste![[traurig]](/images/smileys/traurig.gif "[traurig]"){kind=small}
)
