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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo!
Zur Zeit versuche ich folgende Aufgabe aus Heuser's Analysis 1 zu lösen.
zu zeigen:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n-k} [/mm] falls 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
Leider kann ich das nicht.
Auch die Lösung im Anhang des Buches verstehe ich nicht.
Wie kommt man von [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] auf
[mm] \bruch{n(n-1)...(n-k+1)(n-k)(n-k-1)...2*1}{1*2...k(n-k)(n-k-1)...2*1}
[/mm]
und wieso ist es gleich [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Ich seh's einfach nicht. Vielen Dank vorab.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo!
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> Zur Zeit versuche ich folgende Aufgabe aus Heuser's
> Analysis 1 zu lösen.
> zu zeigen:
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> [mm] \vektor{n \\ k}=[/mm] [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ n-k}[/mm]
> falls 0 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n
Hallo,
für 0 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n ist ja [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] so definiert:
[mm] \vektor{n \\ k}:=[/mm] [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] .
Also hat man für 0 [mm]\le[/mm] a [mm]\le[/mm] n
[mm] \vektor{n \\ a}=[/mm] [mm]\bruch{n!}{a!(n-a)!}[/mm].
Das gilt dann auch für a:=n-k, denn wegen 0 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n ist 0 [mm]\le[/mm] a=n-k [mm]\le[/mm] n .
Nun setzen wir mal ein:
[mm] \vektor{n \\ n-k}= \vektor{n \\ a}=[/mm] [mm]\bruch{n!}{a!(n-a)!}[/mm]= [mm]\bruch{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}[/mm] =[mm]\bruch{n!}{(n-k)!k!}[/mm] = [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hi!
Ich verstehe jetzt was mit [mm] \vektor{n \\ n-k} [/mm] gemeint ist. Man setzt in [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] k=n-k.
Allerdings kann ich immer noch nicht nachvollziehen wie
[mm] \vektor{n \\ k}= \bruch{n(n-1)...(n-k-1)}{1*2...k} [/mm] = [mm] \bruch{n(n-1)...(n-k-1)(n-k)(n-k-1)...2*1 }{1*2...k(n-k)(n-k-1)...2*1}
[/mm]
zustande kommt, was wiederum gleich [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] sein soll.
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Du erweiterst den Bruch mit (n-k)! und schon erhälst du den besagten Ausdruck für [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n (n-1) (n-2)...(n-k+1)}{k!} [/mm] = [mm] \bruch{n (n-1) (n-2)...(n-k+1) (n-k)!}{k! (n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n (n-1) (n-2)...(n-k+1)(n-k) (n-k-1)(n-k-2)...2*1}{k! (n-k)!}= \bruch{n!}{k! (n-k)!}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Cool! Es scheint (n-k)! = (n-k-1)(n-k-2)...2*1 zu sein.
Ich kann das aber nicht so ausschreiben. Wieso?
Wie kommt man zu diesem Ergebnis?
Ich kenne zwar :
n!:= [mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] k=1*2*...*n
aber das hilft mir irgendwie gar nicht.
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Was kannst du nicht ausschreiben?
Es ist:
(n-k)! = (n-k)*(n-k-1)*(n-k-2)....*2*1
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> Ich kenne zwar :
> n!:= [mm]\produkt_{k=1}^{n}[/mm] k=1*2*...*n
> aber das hilft mir irgendwie gar nicht.
Gleich wirst Du's verstehen. Für a [mm] \in \IN [/mm] ist a! wie folgt definiert:
a!:=1*2*...*n .
( [mm] \produkt_{i=1}^{a}i [/mm] ist nur eine abkürzende Schreibweise für 1*2*...*a. Wie beim Summenzeichen, welches einem viel Schreibarbeit beim Summieren ersparen kann. Hast Du gemerkt, daß ich den Laufindex i genannt habe? Statt k bei Dir oben. Das k da oben ist ein Laufindex, und er hat mit Deinem k in (n-k) absolut nichts zu tun. Vielleicht hat das bei Dir Verwirrung gestiftet.)
Wie lautet die "Anweisung" bei a! ? Sie lautet "Multiliziere alle natürlichen Zahlen von 1 bis a miteinander!"
Und werden wir nun tun mit a:=n-k .
(n-k)!= 1*2*3*...*((n-k)-2)*((n-k)-1)*(n-k).
Und jetzt schreib ich Dir's nochmal mit dem Summenzeichen auf:
(n-k)!= [mm] \produkt_{i=1}^{n-k}i
[/mm]
Alle Unklarheiten beseitigt?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Ja! Das ist es. Vielen Euch beiden. Jetzt versuche ich die nächsten Aufgaben.
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